-
让品牌有温度、有情感
专注品牌策划15年
惯性指数和特征值关系（惯性指数和特征值关系是什么）
发布时间：2023-04-22 02:22:59
稿源：
创意岭 阅读：
114
大家好！今天让创意岭的小编来大家介绍下关于惯性指数和特征值关系的问题，以下是小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。
开始之前先推荐一个非常厉害的Ai人工智能工具，一键生成原创文章、方案、文案、工作计划、工作报告、论文、代码、作文、做题和对话答疑等等
只需要输入关键词，就能返回你想要的内容，越精准，写出的就越详细，有微信小程序端、在线网页版、PC客户端
创意岭作为行业内优秀的企业，服务客户遍布全球各地，如需了解SEO相关业务请拨打电话175-8598-2043，或添加微信：1454722008
本文目录:
一、[补充]特征值、惯性指数、标准型、规范型，等价、相似与合同
能确定行列式、迹相等；不能确定秩相等，不能确定A～B（相似），不能确定A合同于B。
① 因为 |A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以 |A|=|B|，tr(A)=tr(B)。
② 有特征值 λ，不表示A可以～Λ。
③ 若 A～Λ，可推出 r(A)=非0的 λ 个数。
④ 合同需要实对称矩阵（考研范围中），λ 相等并不能保证。
【反例】：此例中，r(A)≠r(B)，且都不可相似对角化，且都不是实对称矩阵（不可合同）。
实对称矩阵一定可以对角化，所以可得A、B相似于同一个对角阵，即 A～Λ～B。
又因为实对称，所以逆＝转置，也合同。
不唯一。如果是 求得的
那么 ，标准型结果也就不同。
标准型的项数是一定的，该项数就是非0系数，也就是正负惯性指数；正负惯性指数之和就是 二次型 的秩，也即 。
注：如果A可以相似对角化，那么秩就是非零特征值的个数（正负惯性指数之和）。
。
可逆线性变换不改变正负惯性指数，经过变换得到的标准型，其对角线元素不一定是特征值！虽然二次型可以通过可逆线性变换（配方法），变成这样的对角阵，但是标准型有很多个，也就是有很多这样的对角阵；特征值是确定的，所以这些可逆线性变换得到的标准型，都不可以求出特征值。
特征值的求法：因为这些标准型与特征值无关，所以不能根据它们写特征多项式，而应该回到最初的二次型（实对称矩阵A），用特征方程做。
经典坑位：若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（ ）
正交变换就是在特征值的基础上做的，其结果得到的标准型，也就是特征值拼出的对角阵。诸多可逆线性变换中，只有正交变换得到的标准型，对角线元素，才是特征值。
确定什么？ 可以确定惯性指数相同，也即二次型平方项的系数正、负个数相等，或是正特征值、负特征值的个数相同。
不能确定什么？ 不能确定特征值。
，是因为惯性定理，决定了对于同一个二次型的不同标准型，正、负惯性指数p、q是一定的，而规范型是系数只有1、-1、0的情况。此时说唯一，是不考虑二次型的变量顺序的，比如可以都规定写的顺序是1，-1，0。
同一个规范型可能有多个标准型。
同一个标准型，不可能对应多个规范型。因为标准型的惯性指数是确定的。
两个二次型（或者实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正负惯性指数，或有相同的秩及正（负）惯性指数
即规范型相同对应的不同矩阵是合同的。
（相似，合同条件要高）
相似必等价，等价未必相似。（矩阵相似是秩相等的充分非必要条件）
合同必等价，等价未必合同。（等价秩相同但未必是实对称矩阵）
（使用正交变换得到的相似或合同时，相似与合同一致）
经正交变换后，两矩阵相似，则必合同。
经正交变换后，两矩阵合同，则必相似。
一般矩阵不适用。但实对称矩阵，一定可以相似对角化，所以特征值相同时，A ~ B，此时也合同
若相似，其特征值相同，所以p、q相同，必可以合同。
若合同，保证了正、负系数的个数相同，此时虽然可以相似对角化，但各自具体的特征值不一定相同，所以推不出A、B相似。
【例】对角矩阵2E合同于单位矩阵 E，而 E 只能和 E 相似，显然2E不相似于E（因为特征值不同）。
注：普通矩阵没有说相似一定合同，因为只在对称矩阵的时候，我们才讨论合同。
矩阵A可逆，它的秩为n，因为矩阵的秩与它是否有n个线性无关的特征向量是没有关系的，所以不一定可相似对角化
比如说一个三阶矩阵有三个不同的特征值2,1,0,则该矩阵一定可以对角化,有3个线性无关的特征向量,但它只有2个非零特征值,故对角矩阵的秩为2.而不是3
再比如一个三阶矩阵有三个不同的特征值2,1,3,则该矩阵一定可以对角化,必有3个线性无关的特征向量,它有3个非零特征值,它的秩为3
线性方程组Ax=0有n个线性无关的解向量，矩阵A列满秩,方程组唯一0解，要从线性方程组的角度取看是否可以相似对角化的问题
二、
三、
四、
以上就是关于惯性指数和特征值关系相关问题的回答。希望能帮到你，如有更多相关问题，您也可以联系我们的客服进行咨询，客服也会为您讲解更多精彩的知识和内容。
推荐阅读：
赣公网安备 50019002502384号
