图论最短路径dijkstra算法

大家好！今天让创意岭的小编来大家介绍下关于图论最短路径dijkstra算法的问题，以下是小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。

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本文目录:

• 1、图文解析 | Dijkstra单源最短路径算法

• 2、最短路径 | 深入浅出Dijkstra算法（一）

• 3、图论中常见的最短路径算法有几种？都是什么

• 4、【数据结构】最短路径之迪杰斯特拉(Dijkstra)算法与弗洛伊德(Floyd)算法

一、图文解析 | Dijkstra单源最短路径算法

给定 加权有向图 G=(V,E,W)，每条边的权值w为 非负数 ，表示两个顶点间的距离。

源点s∈V。

求：从s出发到其他各个顶点的最短路径。

如上图所示，以1为源点，计算到其余各个顶点的最短距离（我已用红线标出）。下面列出了最终解：

S集合 ：当从s到x（x ∈V ）的最短路径找到时，则x ∈S。当所有顶点都进入S集合时，算法结束。

初始：S=｛s｝，当S=V时算法结束。

从s到u相对于S的最短路径 ：指从s到u且仅经过S中顶点的最短路径。

dist[u]:从s到u相对于S的最短路径长度

short[u]:从s到u最短路径的长度（算法最终解）

dist[u] ≥ short[u]

Dijkstra算法采用贪心算法模式，算法过程就是通过计算dist[u],不断扩充S集合，同时dist[u]会不断优化改善，直到dist[u] = short[u]，并将其放到S中，当所有顶点都放入S集合时，算法结束。

输入：加权有向图G=(V,E,W)

          V={1,2,…,n}, s=1

输出：从s到每个顶点的最短路径

输入：G=(V,E,W)，源点1

          V={1,2,3,4,5,6}

初始S集合只有1，计算直接从1能到达的顶点的距离，其他不能从1号顶点直接到达的顶点都记为无穷大。此时从dist[u]里找出最短距离的顶点（6号），并将其放进S集合。

  S={1}

  dist[1] = 0

  dist[2] = 10

  dist[6 ] = 3

  dist[3] = ∞

  dist[4] = ∞

  dist[5] = ∞

当把6号顶点放进S集合后，经由6号顶点出发到达的顶点的最短距离可能会被优化更新，因为该算法的思想很“贪心”，谁更短我要谁！比如1->6->2要比1->2距离更短，所以dist[2]被更新为5，从专业术语上讲，这个“更新”过程叫做松弛，其他点同理。然后从dist[u]里找出最短的路径的那个顶点（5号），并放进S集合里。

  S={1,6}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[5] = 4

  dist[3] = ∞

后面的操作步骤其实就是重复上面的操作。即当S集合里有个新的顶点后，就可能会更新其他点的最短距离，更新一遍后，找出当前最短距离的dist[u]，并将该顶点放进S集合。后面不重复阐述。

  S={1,6,5}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[5] = 4

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[3] = ∞

  S={1,6,5,2}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[5] = 4

 dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[3] = 12

  S={1,6,5,2,4}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[5] = 4

 dist[2] = 5

 dist[4] = 9

  dist[3] = 12

  S={1,6,5,2,4,3}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[5] = 4

 dist[2] = 5

 dist[4] = 9

 dist[3] = 12

当有向图中的所有顶点都进入了S集合后，算法结束，此时的dist[u]的值其实就是最初我们找出的那个最终解short[u]，所以，算法结束时，dist[u]=short[u],得到最终解。

二、最短路径 | 深入浅出Dijkstra算法（一）

上次我们介绍了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 最短路算法 ，它可以方便的求得 任意两点的最短路径， 这称为 “多源最短路”。

这次来介绍 指定一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径， 也叫做 “单源最短路径”。 例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。

与 Floyd-Warshall 算法一样，这里仍然 使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系， 初始值如下。

我们还需要用 一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程， 我们可以称 dis 数组为 “距离表”， 如下。

我们将此时 dis 数组中的值称为 最短路的“估计值”。

既然是 求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程， 那就 先找一个离 1 号顶点最近的顶点。

通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。 当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”， 即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。

为什么呢？你想啊， 目前离 1 号顶点最近的是 2 号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。 因此 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短，对吧 O(∩_∩)O~

既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点 有哪些 出边 呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。

先讨论 通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。 也就是说现在来比较 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程，e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点，再通过 2->3 这条边，到达 3 号顶点的路程。

我们发现 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做 “松弛” 。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3]，通过 2->3 这条边 松弛成功。 这便是 Dijkstra 算法的主要思想： 通过 “边” 来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。

同理通过 2->4（e[2][4]），可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4（dis[4]初始为 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新为 4）。

刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

接下来，继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点。通过上面更新过 dis 数组，当前离 1 号顶点最近是 4 号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边（4->3，4->5 和 4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 3 号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 5 号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

最后对 6 号顶点的所有出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边，因此不用处理。 到此，dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

最终 dis 数组如下，这便是 1 号顶点到其余各个顶点的最短路径。

OK，现在来总结一下刚才的算法。 Dijkstra算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是 1 号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。

基本步骤如下：

在 博客 中看到两个比较有趣的问题，也是在学习Dijkstra时，可能会有疑问的问题。

当我们看到上面这个图的时候，凭借多年对平面几何的学习，会发现在“三角形ABC”中，满足不了 构成三角形的条件(任意两边之和大于第三边)。 纳尼，那为什么图中能那样子画？

还是“三角形ABC”，以A为起点，B为终点，如果按照平面几何的知识， “两点之间线段最短”， 那么，A到B的最短距离就应该是6(线段AB)，但是，实际上A到B的最短距离却是3+2=5。这又怎么解释？

其实，之所以会有上面的疑问，是因为 对边的权值和边的长度这两个概念的混淆， 。之所以这样画，也只是为了方便理解（每个人写草稿的方式不同，你完全可以用别的方式表示，只要便于你理解即可）。

PS：数组实现邻接表可能较难理解，可以看一下 这里

参考资料：

Dijkstra算法是一种基于贪心策略的算法。每次新扩展一个路程最短的点，更新与其相邻的点的路程。当所有边权都为正时，由于不会存在一个路程更短的没扩展过的点，所以这个点的路程永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。

根据这个原理， 用Dijkstra算法求最短路径的图不能有负权边， 因为扩展到负权边的时候会产生更短的路径，有可能破坏了已经更新的点路径不会发生改变的性质。

那么，有没有可以求带负权边的指定顶点到其余各个顶点的最短路径算法（即“单源最短路径”问题）呢？答案是有的， Bellman-Ford算法 就是一种。（我们已经知道了 Floyd-Warshall 可以解决“多源最短路”问题，也要求图的边权均为正）

通过 邻接矩阵 的Dijkstra时间复杂度是 。其中每次找到离 1 号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N)，这里我们可以用 优先队列（堆） 来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到 。这个我们将在后面讨论。

三、图论中常见的最短路径算法有几种？都是什么

主要是有三种、、

第一种是最直接的贪心dijkstra算法、、可以利用堆数据结构进行优化、、缺点就是不能求有负权的最短路与判断负环、、

第二种是bellman-ford算法、、根据松弛操作的性质是可以来判断负环的、、时间复杂度是O(nm)的、、

第三种是SPFA算法、、把他单独拿出来作为一种算法并不是非常好的、、他的实质应该是上面的bellman-ford算法的队列优化时间复杂度更低、O(KE)、K的值约等于2、、

四、【数据结构】最短路径之迪杰斯特拉(Dijkstra)算法与弗洛伊德(Floyd)算法

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法核心： 按照路径长度递增的次序产生最短路径。

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法步骤：（求图中v0到v8的最短路径）并非一下子求出v0到v8的最短路径，而是 一步一步求出它们之间顶点的最短路径 ，过过程中都是 基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得出源点与终点的最短路径 。

弗洛伊德(Floyd)算法是一个经典的 动态规划算法 。

以上就是关于图论最短路径dijkstra算法相关问题的回答。希望能帮到你，如有更多相关问题，您也可以联系我们的客服进行咨询，客服也会为您讲解更多精彩的知识和内容。

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