实用最优化方法第三版

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本文目录:

• 1、最优化计算方法的目录

• 2、约束最优化方法 (一) 最优性条件

• 3、最优化计算方法

• 4、XGBoost与GBDT(一)-几种最优化方法对比

一、最优化计算方法的目录

第一篇　线性规划

第1章　线性规划的数学模型和基本性质

1.1　线性规划问题及其数学模型

1.1.1 问题的提出

1.1.2　线性规划问题的数学模型

1.2　线性规划问题的图解法

1.2.1 图解法的步骤

1.2.2　线性规划问题求解的几种可能结果

1.3　线性规划的基本性质

1.3.1　线性规划的基本概念

1.3.2　凸集与凸集的顶点

1.3.3　线性规划的基本定理

习题

第2章　单纯形法

2.1　单纯形法的原理

2.1.1　确定初始基本可行解

2.1.2　最优性检验和解的判别

2.1.3　从一个基本可行解转换到相邻且改善了的基本可行解

2.2　单纯形法的计算步骤

2.3　人工变量的处理方法

2.3.1 大M法

2.3.2　两阶段法

2.4　单纯形法的有限终止性

2.5　改进单纯形法

2.5.1 单纯形法的矩阵描述

2.5.2　改进单纯形法

习题

第3章　线性规划的对偶理论

3.1　线性规划的对偶问题

3.1.1 对偶问题的提出

3.1.2　原问题与对偶问题之间的对偶关系

3.2　对偶性定理

3.3　对偶单纯形法

3.3.1 对偶单纯形法的基本思路

3.3.2　对偶单纯形法的计算步骤

3.3.3　初始对偶基本可行解的求法

习题

第4章　灵敏度分析和参数线性规划

4.1　灵敏度分析

4.1.1　参数cj的灵敏度分析

4.1.2　参数6i的灵敏度分析

4.1.3 约束条件的系数列向量Ak的灵敏度分析

4.1.4　增加一个新变量Xn+1的分析

4.1.5　增加一个新约束条件的分析

4.2　参数线性规划

习题

第5章　线性规划应用实例

5.1　套裁下料问题

5.2　配料问题

5.3　生产工艺优化问题

5.4　多周期动态生产计划问题

5.5　有配套约束的资源优化问题

5.6　投资问题

5.6.1　投资项目组合选择

5.6.2　连续投资问题

5.7　运输问题及其扩展

5.7.1　产销平衡的运输问题

……

第二篇　非线性规划

第6章　非线性规划基本概念与基本原理

第7章　一维搜索

第8章　无约束问题最优化方法

第9章　约束问题最优化方法

第三篇　现代最优化算法

第10章　最优化问题概论

第11章　模拟退火算法

第12章　遗传算法

第13章　人工神经网络

参考文献

二、约束最优化方法 (一) 最优性条件

  之前讨论的是无约束最优化方法，这一节主要介绍的是带有约束的非线性规划问题，所谓的非线性规划，就是约束项含有平方这种。解这类问题有两种方法，一个是 容许方向法 、它是一种直接处理约束的方法；另一个是 罚函数法 ，它是将约束问题转变成一系列无约束问题，用无约束的极小点去逐渐逼近约束问题的极小点。但是在介绍这两种方法之前，要先介绍一些概念。

  本节主要讨论一般约束问题的最优性条件。我们将先从仅含等式约束或不等式约束的问题入手，然后自然过渡到一般约束问题。所以这一节主要介绍各种约束下的最优性条件，也就是各种约束下，什么样的条件能够推出这个点是最优点、另外一种，已知各种约束下的最优点，能够推出什么条件。整体目录结构如下：

  考虑仅含等式约束的 问题1 ：

  这个问题的最优性条件与求解方法在微积分中已从理论上得到了解决，这就是Lagrange定理和Lagrange乘子法。

定理1 ：假设

  这个定理的意义还在于，它把对等式约束问题的求解转化为对无约束问题的求解。

   上式是最优性一阶必要条件 。

定理2 ：在约束问题1中，假设：

  的任意非零向量 ，都有：

  这个定理的几何意义是，在Lagrange函数的驻点 处，如果Lagrange函数关于 的Hesse矩阵在 个约束(超)曲面的切平面的交集上正定(注意，并不需要在原来的空间中正定)，那么 就是严格局部极小点。

  这里就是直接给出两个定理，没办法，理解记忆吧。第一个定理相对来说比较重要一点。

  下面将给出约束 问题2 ：

  的最优性条件。

定义1 ：对于约束问题，设 ， 若 使得某个不等式约束有 ，则该不等式约束 称为是关于容许点 的 起作用约束 ；否者，若 ，则该不等式约束称为是关于容许点的 不起作用约束 。

定义2 ：设 是 中的非空集，且 。对于 ，若当 时，对于 ，必有 ，则集合 称为 以 为顶点的锥 。若锥 是凸集，则称为 凸锥 。

定义3 ：设 是 中的非空集，且 。对于非零向量 ，若存在 ，当 时，必有 ，则 称为点 的 容许方向向量 ，其方向称为点 的 容许方向 。由点 的全部容许方向向量构成的集合称为点 的 容许方向集 ，或者说 容许方向锥 。

  约束曲面 把整个空间分成两部分，梯度 总是指向包含容许集的那一侧。

  把由点 的所有下降方向向量构成的集合称为点 的 下降方向锥 。

定理：设 在点 可微，则点 处的下降方向向量 必满足：

  记 ，则 是点 处的下降方向集。显然 是 中的半空间。

  接下来就是 几何最优性条件 的定义：(因为这个条件是仅借助点集的概念给出的，所以称为 几何最优性条件 )：

定理： 在约束问题2中，若 是局部最优点，则点 处的 容许方向锥 和 下降方向锥 的交集是空集。

  上面这个定理仅仅是必要的，而不是充分的。也就是说知道这个点是最优点能够推断出容许方向锥和下降方向锥的交集是空集，但由容许方向锥和下降方向锥的交集是空集并不能推断出其是最优点。

  这里要介绍：引理(Farkas)、引理(Gordan)、定理：Fritz John

引理(Farkas) ：设 ， ， ， 和 是 维向量，则满足：

  的向量 也满足

  的充要条件是，存在 非负数 ， ， ， ，使得：

  这个依旧不需要证明，相信它就完事了，因为直观上感觉就是非常正确的。可以看课本图4-6。或者下面这张图理解( 理解为 )：

定理：Fritz John： 在问题2中，设 是局部最优解， ， ， ， ， 在点 处可微，那么，存在不全为零的实数 ， ， ， 使得：

  上面这个式子我们来理解一下，因为这个 是最优点，所以这个容许集和下降方向集是空集。所以不存在向量 ，使得：

   称为 互补松弛条件 。它表明：若 ，即 ，则必有 ；若 ，则必有 ，即 。

  这个定理给你了问题2的一个 最优性必要条件 。上式称为Fritz John条件，满足Fritz-John条件的点称为 Fritz-John点 。 ， ， ， 也称为Lagrange乘子。

  Fritz-John条件仅是判别某一容许点是否为 最优点的必要条件 ，而不是充分条件。

  如果Fritz-John条件中 时，Fritz-John条件失去实用价值。为了使得其大于0，就有了Kuhn-Tucker条件。

定理：Kuhn-Tucker：

在问题2中，假设

i） 是局部最优点；

ii) 在点 处可微；

iii) 点 处的全部起作用约束的梯度线性无关。那么存在实数 使得：

  Kuhn-Tucker条件是Fritz John条件的特殊情况。

  Kuhn-Tucker条件有明显的几何意义。在Kuhn-Tucker定理的公式中，删去不起作用约束项（注意，它们的系数是 ，当 ，Kuhn-Tucker条件可简写成：存在 （ ）使得：

  此式在几何上表示：若 是问题地最优解，根据Farkas引理可知，在此点处地目标函数地梯度必处在由起作用约束函数地梯度张成地凸锥之中。

  之前是不等式约束，现在考虑一般约束问题地最优性条件，既有等式约束还有不等式约束的情况。我们这节就介绍一般约束问题下的 Fritz-John定理 和 Kuhn-Tucker定理 ：

Fritz-John定理 ：

  考虑问题：

  在上述问题中设 是局部最优点 ， 在点 处可微。那么，存在不全为零的实数 ，使得：

  这个定理可以看成是Lagrange定理的结论与Fritz-John定理的结论的合并。相当于多了 个等式约束。

Kuhn-Tucker定理 ：

  考虑问题：

  假设：

  i) 是局部最优解；

  ii） 在点 处可微；

  iii）点 处的全部起作用约束的梯度线性无关。

那么存在实数 使得：

定理：

  在以下 凸规划 问题中：

  假设 是可微 凸函数 ， 是可微凹函数， 是线性函数。若 是上述问题的Kuhn-Tucker点，则 就是上述问题的全局最优点。(用Hesson矩阵即可证明是不是凸优化问题)。

三、最优化计算方法

最优化的计算方法是线性规划

线性规划（Linear programming,简称LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。

线性规划是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

步骤如下：

1）列出约束条件及目标函数

（2）画出约束条件所表示的可行域

（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值

实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；

1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；

2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；

3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

线性规划是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

四、XGBoost与GBDT(一)-几种最优化方法对比

发现了作者的一个ppt GBDT算法原理与系统设计简介 ,从头复习了一波相关的内容,写两篇记录下来.

从根本上来说, GBDT 与XGBoost最大的区别在于二者用的优化方法不一样,所以从先从最优化方法开始复习.

最优化问题通常分为两个大类:

在机器学习中,典型的做法就是选择一个合适的模型 ,对该模型的损失函数 ,通过最优化的方法最小化损失函数,从而求解模型的参数.

最常见的几种优化方法包括[2]:

可以看出,虽然牛顿法收敛速度较快,但是每次迭代过程,计算海塞矩阵的逆过程相当繁琐,特别是当该矩阵维度较大时.因此就有了逆牛顿法,他使用正定矩阵来近似求海塞矩阵的逆.

拟牛顿法和梯度下降法一样只要求每一步迭代时知道目标函数的梯度,另外，因为拟牛顿法不需要二阶导数的信息，所以有时比牛顿法更为有效。常用的拟牛顿法有DFP算法和BFGS算法.此处不再赘述.

下面补充拟牛顿法的思路(摘自[3]):

共轭梯度法是一种用于解决无约束凸二次规划问题的方法.

启发式方法指人在解决问题时所采取的一种根据经验规则进行发现的方法。其特点是在解决问题时,利用过去的经验,选择已经行之有效的方法，而不是系统地、以确定的步骤去寻求答案。启发式优化方法种类繁多，包括经典的模拟退火方法、遗传算法、蚁群算法以及粒子群算法等等。

上面前三种算法,解决的问题都仅限于无约束的凸优化, 而拉格朗日乘数法则解决含有约束条件的优化问题,例如svm算法的解法推导.约束优化问题的一般形式是:

这个问题可以转化成函数 的无条件极值问题.

对于约束条件为不等式的问题,有科学家拓展了拉格朗日乘数法.增加了kkt条件以求解.没学过最优化,这块就没法细谈了.有机会一定要补上.

[1]Poll的笔记.常见的几种最优化方法[EB/OL]. https://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4751804.html,2015-08-23 .

[2]超神冉.最优化算法——常见优化算法分类及总结[EB/OL]. https://blog.csdn.net/qq997843911/article/details/83445318,2018-10-27 .

[3]李航.统计学习方法[M].清华大学出版社:北京,2012:220.

[4]Ja1r0.共轭梯度法[EB/OL]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/28623599,2018-05-28 .

以上就是关于实用最优化方法第三版相关问题的回答。希望能帮到你，如有更多相关问题，您也可以联系我们的客服进行咨询，客服也会为您讲解更多精彩的知识和内容。

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