反向传播推导（反向传播推导方法）

大家好！今天让创意岭的小编来大家介绍下关于反向传播推导的问题，以下是小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。

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本文目录:

• 1、Layer Normalization反向传播推导

• 2、卷积神经网络的反向传播

• 3、深度学习入门课程学习笔记06 反向传播

• 4、一文彻底搞懂BP算法：原理推导+数据演示+项目实战（上篇）

一、Layer Normalization反向传播推导

Layer Normalization来源于这篇文章：

其目的为减少深度神经网络中层与层之间的Covariate Shift，增加网络收敛速度。与Batch Normalization对比，Layer Normalization可显著减少参数量，特别适用于RNN系结构。

Layer Normalization的公式如下所示：

其中 和 是可学习的参数， 为element-wise乘法。

Layer Normalization的梯度分三个部分：输入的部分和两个可学习参数的部分

可学习参数包括 和 。此处令 ：

原公式可变为：

则输入的梯度为：

下面重点分析最右部分：

其中 if ，否则为0。易得 。下面将式（1）和式（2）分别代回原式：

式（1）：

式（2）：

注意式中 。合并两式：

二、卷积神经网络的反向传播

首先回顾深度神经网络（DNN）的反向传播

forward：

Loss Function:

backward:

w的梯度：

b的梯度：

令：

已知 ，推导上一层 ：

( 1) 单通道（极简情况）

为了简单起见，设输入X为3* 3，单通道，卷积核K为2*2，输出Y为2*2，单通道。 ，即：

在计算时会转化为：

所以，卷积运算最终转化为矩阵运算。即X、K、Y变形在之后对应矩阵变为XC、KC、YC，则

Y和K只要reshape一下就可以了，但X需要特别处理，这个处理过程叫im2col（image to column），就是把卷积窗口中的数拉成一行，每行 列，共（X.w-k+1)（X.h-k+1)行。

（2）多通道（实际情况）

下面是一张被广泛引用的说明图，图中显示的输入是3通道（3层，比如R、G、B共3个channel），输出是2通道（channel），于是总共有3*2=6个卷积核，每个核有4个元素，3*4=12，所以6个卷积核排成一个12*2的核矩阵，即为权重矩阵，把这6个KC的组合(权重矩阵)记为WC。

图中最底下一行表示两个矩阵乘积运算，就是卷积层的前向传播算法。实际编码时还会加上偏置，而且还要考虑Batchs。

如图中所示，如果输入的维度为 ，那么

上图中显示的乘法维度是：

最后将 即可

池化（Pooling）：也称为欠采样或下采样。主要用于特征降维，压缩数据和参数的数量，减小过拟合，同时提高模型的容错性。主要有：

Max Pooling：最大池化

Average Pooling：平均池化

池化层的反向传播比较容易理解，我们以最大池化举例，上图中，池化后的数字6对应于池化前的红色区域，实际上只有红色区域中最大值数字6对池化后的结果有影响，权重为1，而其它的数字对池化后的结果影响都为0。假设池化后数字6的位置误差为 误差反向传播回去时，红色区域中最大值对应的位置误差即等于 ，而其它3个位置对应的 误差为0。因此，在卷积神经网络最大池化前向传播时，不仅要记录区域的最大值，同时也要记录下来区域最大值的位置，方便误差的反向传播。

而平均池化就更简单了，由于平均池化时，区域中每个值对池化后结果贡献的权重都为区域大小的倒数，所以误差反向传播回来时，在区域每个位置的误差都为池化后误差 除以区域的大小。

由前面的前向传播可知卷积核的计算为：

记：

在反向传播中, 是从后面一层（一般是激活函数层或池化层）传过来的，是一个已知量，在此基础上求

1.求

只需要reshape一下就可以得到

2.求

根据反向传播公式，

但是从 还原到 并非易事，im2col的逆映射计算复杂度高得不能接受，要计算 还得另寻它途。

下面是新的计算方式的推导：

根据前向传播：

可以计算每个 的导数：

所以：

3.求

我们的 是一个列向量，它给卷积结果的每一个通道都加上同一个标量。因此，在反向传播时，它的导数等于卷积结果的 误差在每一个通道上将所有 误差进行求和的结果，即：

由于有些公式支持的不好，所以有些地方我用了截图，如果有读不懂的，可以在评论区回复邮箱，我把word版发给你们。另外，如果大家发现我有地方写得不对或者有疑问的，麻烦评论， 我会回复并改正

三、深度学习入门课程学习笔记06 反向传播

深度学习入门课程学习笔记06 反向传播

反向传播：

咱们在之前的课程讲了一系列的前向传播的知识点，前向传播也就是从输入到最终计算出LOSS值这一系列过程，那么这节课咱们要讲一个更重要的知识点也就是反向传播。反向传播最直观的意思就是说咱们要从LOSS值入手一步步的往回看，看什么呢？就是要看咱们的每一个权重参数对最终的LOSS值做了多大的贡献。

最简单的小例子

首先咱们用一个最简单的小例子来看一下反向传播是怎么一回事，如上图最终的LOSS值等于-12下面咱们就要算对于X,Y,Z三个输入来说分别对于LOSS值做了多大的贡献，首先咱们用q=x+y，f=qz分别表示中间的计算过程。那么咱们要算什么呢？反向传播最终要算的就是最终的LOSS值对X,Y,Z三个输入的偏导数，这个偏导数该怎么算呢？在这里我们遵循一个链式法则也就是对于输入来说他对于最终LOSS的贡献等于他前面传播下来的梯度再乘以自身的梯度。

链式法则

这里就是梯度传播的计算方式，我们要算X和Y对于最终LOSS的贡献（换句话说就是反向传播到X和Y的梯度的大小）要先算前面一层传播到X和Y的梯度再去计算X和Y自身的梯度。

稍难的例子

咱们再来看一个稍微难一些的例子，上图表示的是咱们之前说过的这个SIGMOID函数，咱们接下来要算的就是这个函数梯度传播的过程，导数计算的公式我已经写在图上了，咱们只需要根据导数的计算方式一步步的从最终的LOSS值往回算就可以了，下面浅红色的值就是梯度传播的值。

这里我们可以看到梯度传播可以是一步一步的传播也可以一步传播一整块，这一整块我们把它当做是一个整体，相应的就要计算这一整个块的梯度了，也就是直接对SIGMOID函数求导。

梯度传播的门

这里咱们所说的门就是一个单位区域，我们可以从图中看出来咱们在计算梯度传播的过程中无外乎就是这几种门的操作，每种门也都有它各自的特性，他们的特性是怎么得出的呢？这里就不带大家一步步算了，咱们可以动动笔算一下梯度的传播然后就知道为什么这些门有不同的特性了。

反向传播就先说到这里了，这里只是很简单的谈了一下反向传播具体的计算过程如果同学们还是不太理解建议看一下原始课程会有很详细的推导。

四、一文彻底搞懂BP算法：原理推导+数据演示+项目实战（上篇）

反向传播算法（Backpropagation Algorithm，简称BP算法）是深度学习的重要思想基础，对于初学者来说也是必须要掌握的基础知识！本文希望以一个清晰的脉络和详细的说明，来让读者彻底明白BP算法的原理和计算过程。

全文分为上下两篇，上篇主要介绍BP算法的原理（即公式的推导），介绍完原理之后，我们会将一些具体的数据带入一个简单的三层神经网络中，去完整的体验一遍BP算法的计算过程；下篇是一个项目实战，我们将带着读者一起亲手实现一个BP神经网络（不使用任何第三方的深度学习框架）来解决一个具体的问题。

图 1 所示是一个简单的三层（两个隐藏层，一个输出层）神经网络结构，假设我们使用这个神经网络来解决二分类问题，我们给这个网络一个输入样本 ，通过前向运算得到输出 。输出值 的值域为 ，例如 的值越接近0，代表该样本是"0"类的可能性越大，反之是"1"类的可能性大。

为了便于理解后续的内容，我们需要先搞清楚前向传播的计算过程，以图1所示的内容为例：

输入的样本为：

第一层网络的参数为：

第二层网络的参数为：

第三层网络的参数为：

第一层隐藏层有三个神经元： 、 和 。该层的输入为：

以 神经元为例，则其输入为：

同理有：

假设我们选择函数 作为该层的激活函数（图1中的激活函数都标了一个下标，一般情况下，同一层的激活函数都是一样的，不同层可以选择不同的激活函数），那么该层的输出为： 、 和 。

第二层隐藏层有两个神经元： 和 。该层的输入为：

即第二层的输入是第一层的输出乘以第二层的权重，再加上第二层的偏置。因此得到和的输入分别为：

该层的输出分别为： 和 。

输出层只有一个神经元 ：。该层的输入为：

即：

因为该网络要解决的是一个二分类问题，所以输出层的激活函数也可以使用一个Sigmoid型函数，神经网络最后的输出为： 。

在1.1节里，我们已经了解了数据沿着神经网络前向传播的过程，这一节我们来介绍更重要的反向传播的计算过程。假设我们使用随机梯度下降的方式来学习神经网络的参数，损失函数定义为 ，其中 是该样本的真实类标。使用梯度下降进行参数的学习，我们必须计算出损失函数关于神经网络中各层参数（权重 和偏置 ）的偏导数。

假设我们要对第 层隐藏层的参数 和 求偏导数，即求 和 。假设 代表第 层神经元的输入，即 ，其中 为前一层神经元的输出，则根据链式法则有：

因此，我们只需要计算偏导数 、 和 。

前面说过，第k层神经元的输入为： ，因此可以得到：

上式中， 代表第 层神经元的权重矩阵 的第 行， 代表第 层神经元的权重矩阵 的第 行中的第 列。

我们以1.1节中的简单神经网络为例，假设我们要计算第一层隐藏层的神经元关于权重矩阵的导数，则有：

因为偏置b是一个常数项，因此偏导数的计算也很简单：

依然以第一层隐藏层的神经元为例，则有：

偏导数 又称为 误差项（error term，也称为“灵敏度”） ，一般用 表示，例如 是第一层神经元的误差项，其值的大小代表了第一层神经元对于最终总误差的影响大小。

根据第一节的前向计算，我们知道第 层的输入与第 层的输出之间的关系为：

又因为 ，根据链式法则，我们可以得到 为：

由上式我们可以看到，第 层神经元的误差项 是由第 层的误差项乘以第 层的权重，再乘以第 层激活函数的导数（梯度）得到的。这就是误差的反向传播。

现在我们已经计算出了偏导数 、 和 ，则 和 可分别表示为：

下面是基于随机梯度下降更新参数的反向传播算法：

单纯的公式推导看起来有些枯燥，下面我们将实际的数据带入图1所示的神经网络中，完整的计算一遍。

我们依然使用如图5所示的简单的神经网络，其中所有参数的初始值如下：

输入的样本为（假设其真实类标为"1"）：

第一层网络的参数为：

第二层网络的参数为：

第三层网络的参数为：

假设所有的激活函数均为Logistic函数： 。使用均方误差函数作为损失函数：

为了方便求导，我们将损失函数简化为：

我们首先初始化神经网络的参数，计算第一层神经元：

上图中我们计算出了第一层隐藏层的第一个神经元的输入 和输出 ，同理可以计算第二个和第三个神经元的输入和输出：

接下来是第二层隐藏层的计算，首先我们计算第二层的第一个神经元的输入z₄和输出f₄(z₄)：

同样方法可以计算该层的第二个神经元的输入 和输出 ：

最后计算输出层的输入 和输出 ：

首先计算输出层的误差项 ，我们的误差函数为 ，由于该样本的类标为“1”，而预测值为 ，因此误差为 ，输出层的误差项为：

接着计算第二层隐藏层的误差项，根据误差项的计算公式有：

最后是计算第一层隐藏层的误差项：

以上就是关于反向传播推导相关问题的回答。希望能帮到你，如有更多相关问题，您也可以联系我们的客服进行咨询，客服也会为您讲解更多精彩的知识和内容。

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