自然指数e表达式（自然指数e表达式怎么算）

大家好！今天让创意岭的小编来大家介绍下关于自然指数e表达式的问题，以下是小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。

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本文目录:

• 1、什么是e指数

• 2、请问自然对数中的“e”的数值是怎样推导出来的？

• 3、

• 4、

一、什么是e指数

e约等于2.71828……,是一个无理数,它是(1+1/n)的n次方的极限(n趋向于无穷大).

e在高等数学中非常重要,指数函数y=e^x是一个比较特殊的指数,它的导函数就等于它本身,由此延伸出去,数学科学的众多理论中,e都尤其很特殊和很重要的地位.

很难一下子讲清楚啦:)有机会学习高等数学,甚至进入打学数学系学习的话,您就会了解到它的重要性.

二、请问自然对数中的“e”的数值是怎样推导出来的？

这个问题属于初等函数范畴，需要具备函数极限、微积分 方面的知识基础。浏览了楼主的回答列表，我认为楼主的知识基础已经具备。

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设函数 f(x) = (1 + 1/x)^x

首先证明当 x 趋向正无穷大时，该函数有极限。其次求该极限。

取x为整数n的情况，利用二项式定理

f(n) = (1+1/n)^n

=（k从0到n的求和）∑n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/(k!*n^k)

=(k从0到n的求和)∑(1/k!)*(1-1/n)(1-2/n)……[1-(k-1)/n]

同理写出f(n+1)的展开式，容易看出 f(n+1) > f(n)

因此 f(n)是单调递增函数

同时从f(n)的展开表达式还可以得到

f(n) ≤ 1 + 1 + 1/2！ + 1/3！ + …… + 1/n!

再利用 n! > 2^(n-1) ，。。。（此定理的证明从略）

f(n) < 2 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n-1)

= 3 - 1/2^(n-1) < 3

综上所述，f(n)随n单调递增，同时有界。因此 f(n)有极限。

之后利用初等函数中的夹挤定理，又可以进一步证明 f(x) 与f(n)类似。于是定义 x趋于正无穷大时，f(x)极限值为 e。

通过对 x取一个很大的数，可以计算出 e。x取得越大，e值越精确。

e≈2.7182818284……

e 值是这样定义出的。进一步研究又表明e值有一些有趣的数学性质。

例如对于以a为底的对数函数 f(x)=loga(x)求微分，

其结果为 f'(x)= [loga(e)]/x

这个结果的简单证明过程：

f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx 。其中 Δx 趋向0。

代入 f(x)及 f(x+Δx)表达式后，

f'(x)= （1/x) * lim loga(1+Δx/x)^(Δx/x)

f'(x) = (1/x) * lim loga(1 +1/z)^z ，其中z趋向正无穷大

所以

f'(x)=(1/x)* loga(e)

然后在利用这个结果以及反函数的微分，可以证明 指数函数的微分 为

f(x) = a^x

f'(x) = loge(a) * a^x

因此定义 loge(a) = ln a

自此出现了自然对数。

另外从 (a^x)' = lna * a^x 可以推出 e^x 的导数恰好是其自身。

三、

四、

以上就是关于自然指数e表达式相关问题的回答。希望能帮到你，如有更多相关问题，您也可以联系我们的客服进行咨询，客服也会为您讲解更多精彩的知识和内容。

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