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一阶必要条件（一阶必要条件是什么意思）

发布时间：2023-04-07 17:21:31 稿源：创意岭阅读： 88

大家好！今天让创意岭的小编来大家介绍下关于一阶必要条件的问题，以下是小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。

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本文目录:

1、一阶逻辑的详细内容
2、一阶导数等于零一定就是极值吗?不是如何判断?
3、二阶导数恒正，则一阶导数一定递增。这句话是对的吗？如果正确，是必要条件还是充分条件？
4、想问一下这两道题怎么做啊，谢谢啦

一阶必要条件（一阶必要条件是什么意思）

一、一阶逻辑的详细内容

在一阶逻辑中描述一个数学理论，首先会涉及这个理论所讨论的对象、定义在这些对象上的函数、以及这些对象之间的关系或性质。数学理论所讨论的对象称为个体，由个体组成的非空集合称为论域或个体域。按通常数学中的定义，一个n元函数就是从论域A的个体的所有n元组的集合至A中的一个映射。A中个体的n元组（α1，α2，…，αn）经映射F对应到A中的个体表示为F（α1，α2，…，αn）。函数增加了个体的表达形式。人们也考虑论域A中哪些n元组满足关系R，即A中哪些n元组（α1，α2，…，αn）使得R（α1，α2，…，αn）为真。此时的R（α1，α2，…，αn）就是一个命题。

在各种关系中，相等关系是经常要用的。因为常常需要知道不同个体的表达式是否指称同一个对象。例如3+3与2×3是否表示同一个数。

可以将关系或命题用命题连接词来构成更复杂的关系或命题。当描述一些个数为无穷的对象的性质时，就需要引进量词。例如说“对任何一个自然数，都有一个比它大的素数”时，就引进了量词“所有个体”及“存在个体”，并且将关系或命题经量词构成了更复杂的关系或命题。“论域中的所有个体”称为全称量词，由它所构成的命题“论域中所有的个体有某性质”，当论域中所有个体都有此性质时，此命题是真的，否则为假。“论域中存在个体”称为存在量词，由它所构成的命题“论域中存在个体有某性质”，当论域中某些个体有此性质时为真，否则为假。

“所有个体”、“存在个体”中，量词加在论域的个体上，称为一阶量词。在一阶逻辑中使用的量词仅限于一阶量词。“所有函数”、“存在函数”、“所有关系”和“存在关系”是二阶量词。此外还有更高阶的量词。相应地也有二阶逻辑、高阶逻辑等。

按照建立形式系统的一般原则（见逻辑演算），一阶逻辑的形式系统应包括它的语言，即一阶语言，以及逻辑公理和推理规则。一阶语言的符号包括以下几类。

① 个体变元x，y，z，…。

② 函数符号（表示函数），g，h，…；个体符号（表示论域中的个体） α，b，с，…；及谓词（表示关系）p,Q，R，…。其中有一个二元谓词=，称为等词（表示恒同关系）。

③ 命题联结词┐，∧，∨，→，以及量词（存在量词），（全称量词）。

①，③及等词称为逻辑符号，其他符号，即等词外的②称为非逻辑符号。

归纳地定义一阶语言的项和公式，也称之为形成规则。项的定义：

① 变元和个体符号是项。

② 若t1,t2，…，tn是项，是一个n元函数符号，则（t1,t2，…，tn）是项。

公式可定义为：

① 若t1,t2，…，tn是项，p是n元谓词符号，则p(t1,t2，…，tn）是公式，也称为原子公式。

② 若A是公式，则塡A是公式；若A，B是公式，则A∧B，A∨B，A→B，A凮B是公式。

③ 若A是公式，则xA，凬xA是公式。

如果变元x出现在公式 A中形如xB或凬xB的部分，称这个出现为x在A中的约束出现；否则，称为x在A中的自由出现。例如在公式x=0∨x(x>0）中，第一个x是自由出现，第二、三个x是约束出现。没有变元自由出现的公式称为闭公式。

谓词演算作为一个形式系统，可以规定它的解释。给定一个论域，对于谓词演算中出现的个体符号、函数符号及谓词依次解释为论域中的个体及定义在此论域上的函数及关系。此论域及其对于谓词演算中形式符号的解释称为该演算的一个结构或模型。由对于个体符号和函数符号的解释可知，项可解释为复合函数，它指称个体。原子公式p(t1,t2，…，tn）解释为t1,t2，…，tn所指称的个体满足n元关系p。若公式A(x）表示关系，则凬xA(x）解释为论域中所有个体满足关系A，xA(x）解释为论域中存在某个体满足关系A。

谓词演算的推理规则可规定如下：

谓词演算的逻辑公理陈述逻辑符号的性质，分为三类：

① 命题公理将重言式（见命题逻辑）中出现的命题变元代之以谓词演算中的任意公式后得到的公式；

② 恒同公理 x=x及相等性公理

③ 替换公理 Ax【α】→xA及凬xA→Ax【α】，其中Ax【α】表示将公式A中所有x的自由出现代之以项α。

谓词演算的公理，即逻辑公理并不界定具体的函数或关系，而仅仅处理逻辑词项的一般性质。换言之，对它的个体符号、函数符号、及谓词的解释可以是任意论域中的任意个体、函数及关系。谓词演算的这个抽象性质对于近年来模型论的发展是本质的。

在谓词演算的框架中，用形式语言表述数学的公理（并不一定能完全表述），就得到不同数学理论的形式系统。这类形式公理刻画了某些具体的非逻辑符号的性质，称为非逻辑公理。例如：

全序理论的形式系统中仅有一个非逻辑符号二元谓词≤。除逻辑公理外，它还有非逻辑公理：①x≤y∧y≤z→x≤z;②x≤y∧y≤x→x=y；③x≤x；④x≤y∨y≤x。自然数集合及其上的顺序关系就是全序理论的一个模型。

群论的形式系统中只有两个非逻辑符号：个体符号1及二元函数符号·。它的非逻辑公理为：① x·（y·z)=(x·y）·z；②x·1=x；1·x=x；③y(x·y=1∧y·x=1）。任何一个群都是它的模型。

数论的形式系统中的非逻辑符号有：个体符号0，一元函数符号s及两个二元函数符号+及·。数论（或皮亚诺算术）的公理为：①塡s(x)=0，②s(x)=s(y）→x =y，③x+0=x，④ x+s(x)=s(x+y），⑤ x·0=0，⑥x·s(y)=（x·y）+x，⑦若A为系统内的公式，x0在A中自由出现，则对每个这样的公式A，有公理自然数的算术就是它的一个模型。

陈述在一阶语言中，由逻辑公理、非逻辑公理及推理规则推出的全部形式定理（见逻辑演算）称为一阶理论，记为T。为区别不同的一阶理论T，只要指出T的语言中的非逻辑符号及非逻辑公理就够了。任何一阶理论都包含了谓词演算作为它的子系统。

在谓词演算的任意模型中均为真的公式称为永真的或有效的公式。例如，公式A(x,y）∨塡A(x,y）就是有效的公式，而x≤y∨y≤x就不是有效的。因为在全序结构中，对x，y在个体域中的任意取值，该公式的解释均为真。而在半序结构中，例如该结构的论域为一个集合的全体子集的集合，≤解释为集合的包含关系，那么上式的解释当x，y取任意的两个子集时就不都是真的了。

直观上看，逻辑的定理应当是在一切可能的世界中均为真的定理。在一定意义下，谓词演算满足这个性质。可以验证，谓词演算的公理均为有效的，它的推理规则的假设有效则结论也必有效。因此，谓词演算的所有定理都是有效的。这个性质称为谓词演算的有效性或可靠性。反之，任意有效的公式必为谓词演算的定理。这就是著名的哥德尔完备性定理。由K.哥德尔于1930年证明。用├A表示A是谓词演算的形式定理，即A 是系统内的定理。而可靠性与完备性刻画了整个形式系统的性质，是关于系统的定理，也称为元定理。形式系统的性质是数理逻辑主要的研究对象之一。

由谓词演算的有效性及完备性容易推知一阶理论的可靠性与完备性。使一阶理论 T的所有公理为真的结构称为T 的一个模型。若T的一个公式A在T 的任意模型中均有效，称A在T中有效，记为T喺A。A是T的定理记为T├A。那么T的可靠性与完备性就可以陈述为T├ A的充分必要条件为T 喺A。

若不存在A使得T├A且├塡 A，则称T是协调的。

若T 是协调的，则T 必有模型（广义完备性定理）。

形如x1，x2，…，xnB 的公式称为前束型公式，其中xi表示 xj或凬xj，B 是一个不含量词的公式。任何一个一阶理论T（当T 的非逻辑公理集为空集时就是一个谓词演算）的公式A，都有一个公式A′，使得T├A凮A┡，其中A┡为前束型公式x1,x2，…，xηB，且B中的非逻辑符号均在A中出现。A′也称为A的前束范式。此性质可用于对谓词演算或一阶理论的公式进行分类上。此时只需考虑前束范式中的量词，将它作为公式复杂性的一种测度。

一阶必要条件（一阶必要条件是什么意思）

二、一阶导数等于零一定就是极值吗?不是如何判断?

1、一阶导数为0时,可能是极值点,可能不是.

在极值点,一阶导数一定为0,但是一阶导数为0,可能是一条平行于x轴的直线,

根本没有极大极小的问题,所以一阶导数为0是极指点的必要条件,而非充分条件.

2、如果是极值点,不是上凹,就是下凹.

如果是上凹(concave up),在极值点处的二阶导数一定大于零,为极小值点；

如果是下凹(concave down),在极值点处的二阶导数一定小于零,为极大值点.

可惜的是,国内的很多教师,很多教科书,都在严重误导学生,看看楼上的解答,也可见

一斑,居然要学生画表格讨论,不教二阶导数的用途,到了高年级时,学二元函数微积分

时居然还是这样,不求二阶偏导,就乱下结论,居然美化为根据具体情况判断就行.严重

的误导,使得很多学生进入歧途.

三、二阶导数恒正，则一阶导数一定递增。这句话是对的吗？如果正确，是必要条件还是充分条件？

这是充分不必要条件，一阶倒数是变化率，而二阶是变化率的变化速度。你可以想象速度和加速度，当加速度和方向不同时候，速度有时候还是负值喔～

四、想问一下这两道题怎么做啊，谢谢啦

你好，给你介绍点方法，自己试着做做吧！

定义介绍

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数

，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即

L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，

L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，

φ(x,y)=0

由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

求极值

求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值

方法（步骤）是：

1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数

2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)

如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值可求.

条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势.

条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m

则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m

g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)

在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z，则水箱容积V=xyz

焊制水箱用去的钢板面积为 S=2xz+2yz+xy

这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。

这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件

限制下，求函数F的极值

条件极值与无条件极值的区别

条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。

例如，求马鞍面 z=x.^2-y.^2+1 被平面XOZ 平面所截的曲线上的最低点。

从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。

必要条件

设在约束条件之下求函数的极值。满足约束条件的点是函数的条件极值点, 且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程定隐函数 , 于是点就是一元函数的极限点, 有

代入 , 就有

( 以下均表示相应偏导数在点的值 . )

Lagrange乘数法 :

由上述讨论可见 , 函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组

的解.

引进所谓Lagrange函数

( 称其中的实数为Lagrange乘数 )

则上述方程组即为方程组

因此，解决条件极值通常有两种方法

1）直接的方法是从方程组（1）中解出并将其表示为代入消去成为变量为的函数将问题化为函数无条件极值问题；

2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。

3）在给定的条件下，若是可以将未知数代换或是解出，则可以将条件极值转化为无条件极值，从而避免引入拉格朗日乘数的麻烦。

注意：▽φ(x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的点不会被该方法计算到，因此，若求最大值或最小值时，应把这些点列出来并单独计算。

2解题思路

我们知道, 对于"限制条件为等式,x值均为正值"的最大化问题, 满足最大化的x组合一定满足:F(i)(x*)-Σλj Gj(i)(x*)=0, i=1,2,3,.....n, j=1,2,...m. 从这里我们看到,如果限制条件 Gj(x*)=cj 中的 cj 变化 dcj , 如果全部作用于x(i),那么引起的dx(i)=dcj/Gj(i)(x*),从而导致目标方程取值变化dF=F(i)(x*)dcj/Gj(i)(x*)=λj*dcj [注意:对于同一个限制条件j,我们由上一节已经知道必然有: F(i)(x*)/Gj(i)(x*)=F(i')(x*)/Gj(i')(x*)=λj (i不等于i')]. 那么我们得到:λj=dF/dcj.也就是说,拉格朗日乘数其实代表的是cj对最大化目标函数F的边际影响. 虽然这里考虑的是仅仅cj发生变化,我们可以对此加以推广,比如整体的c向量发生变化到 c+dc, dc是一个m-维向量, 那么F的总变化量dF就是Σλj dCj, j=1,2,...m.

举一个具体的实例: 假如一个计划经济体系下,政府实施如前所述的最大化问题(在有限资源如劳动力,自然矿产,人力资本等的限制下使社会整体效用/福利最大化),并已经找到了满足最大化条件的x组合. 假设万能的上帝允许该国的劳动力资源可以额外增加dc1, 那么根据拉格朗日乘数的经济学含义我们知道给整个社会带来的福利将是λ1*dc1. 但是上帝说:要获得这个额外的劳动力资源,你们必须以一定数量的其他资源比如土地来跟我交换,以示公平.那么我们人类政府该拿多少土地来跟上帝换呢?指定该土地数量为dx2,那么由此减少的社会福利是λ2*dc2. 如果λ1*dc1>λ2*dc2,上帝不会答应,如果反之我们不会答应.所以必然有λ1*dc1=λ2*dc2,也就是dc2=(λ1/λ2)dc1. 学过初级微观的朋友马上可以看出,这跟微观经济学中相对价格的概念十分相似.相对价格反映物与物之间的交换价值,即人们愿意怎么样进行物与物的交换.不同的是,这里的价格不是以钱来计算,而是以社会福利来衡量;这里的相对价格λ1/λ2中的λ1和λ2是基于解决社会福利最大化问题而计算出来的,不同于市场中的价格P1,P2. 由于这个原因,我们把λ叫做"影子价格"(shadow price). 如果我们偶尔发现某个市场经济下市场价格之比恰恰等于影子价格之比,我们称这个市场被一双看不见的手所指引,因为该市场居然可以自发调整解决社会福利的最大化问题.

再来考虑"限制条件为非等式"的情况. 我们知道市场价格通常都不可能为零或负数.但是影子价格确不同,它描述的是限制方程右方cj对整体目标函数值的边际影响.在限制条件Gj为非等式的情况下,增加额外的cj不一定就意味着目标函数值的增加.比如, 限制条件为"社会某消费产品不得高于cj",目标函数为投资量.如果cj提高,那么消费该产品增加,导致投资量减少,目标函数值减少.这时影子价格就是一个负值.再比如,目标函数为产量,限制条件为"同时参加劳动的工人数量不得高于cj".如果cj增加,那么同时劳动的工人数量增加,可能导致劳动力边际产量递减效应的发生,这时总产量可能不增反降.这时我们情愿不增加工人;换句话说,我们情愿把一些资源放在一旁不予利用(free dsiposal).这时候再增加这些劳动力资源,对总产量已经没有作用了,所以影子价格为零. 事实上,根据前一节所述的库恩-塔克定理,这一点是很明显的.库恩-塔克定理说,满足最大化问题解的x一定使得下面的条件满足:

Lλ(x, λ)>=0, λ>=0, 互补松散

就是说,如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)>0, 那么说明有资源余缺闲置,这时λ=0.如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)=0,那么说明资源全部被使用,其边际效用λ>0.

注意:这里我们通过对拉格朗日乘数的解释考查了cj的微小变动dcj对目标函数最大值的变化的影响,这就是开篇所说的比较静态研究--研究参数θ的变化对最大值的影响.所以我们在进行比较静态研究的时候必须把目标函数看成是同时关于x和参数θ的函数. 基于这一点,我们从另一个角度来看λ的确定. 考察参数cj,如果cj变化一点点到cj+dcj,那么相应地最佳组合x*变动到x*+dx*,最大目标值也由F(x*)变化为F(x*+dx*).由泰勒一阶展开我们得到: dF=F(x*+dx*)-F(x*)=Fx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj.根据拉格朗日乘数法一阶必要条件,我们有:Fx(x*)=λj Gx(x*),所以dF=λj Gx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj=λj Gx(x*)dx*,我们又知道根据限制条件方程G(x*)=cj,在cj变化到cj+dcj的过程中,Gx(x*)dx*=dcj,所以dF=λj dcj.同样推导出了λ的定义式. 更一般地,如果F和G都是关于x和参数θ的函数,如果参数θ变动到θ+dθ,x随之变动到x+dx,那么:

dF=F(x+dx,θ+dθ)-F(x,θ)=Fx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ=λGx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ...(1)

由于G是关于x和θ的函数G(x,θ)=c,所以在θ变化的过程中始终有

Gx(x,θ)dx+Gθ(x,θ)dθ=dc...................................................(2)

代入(1)式,我们得到:

dF=λdc -λGθ(x,θ)dθ+Fθ(x,θ)dθ=Lθ(x,λ,θ)dθ+λdc....................(3)

这就是最一般化的比较静态公式.我们在研究影子价格λ的时候,没有考虑任何参数θ的变化,所以公式(3)的第一项为零,这样dF=λdc.反之,我们在某些情况下不考虑c的变化,而侧重于参数θ的变化,这时公式(3)变化为: dF=Lθ(x,λ,θ)dθ.如果只有函数F跟θ有关,而G跟θ无关,那么公式(3)简化为dF=Fθ(x,θ)dθ. 注意:1. 在参数θ变化的过程中,θ-->θ+dθ,x-->x+dx,但是对目标函数值的影响却只要考虑拉格朗日函数对θ的偏微分,而且该偏微分在原来最优点x处取值.这是我们用泰勒一阶展开应该得到的结论. 2.这里的x虽然没有标上星号*,但不言自明的是它们都应该是最优组合,而且它们也都是关于参数θ的函数x(θ). 如果我们把最大化了的F定义成一个新函数最优目标方程V(θ),那么由刚刚推导出来的公式(3): dF=Fθ(x,θ)dθ 我们有 Vθ(θ)=Fθ(x(θ),θ). 再次提醒注意,这里的x(θ)是满足最大化条件的最优点.如果我们再定义一个普通目标函数F(x',θ),但是这里的x'是任意值,不一定是最优点x(θ).假设对应这个x'的能使 F 函数值最大的θ是θ'.那么V(θ)在θ'点处的斜率为:Vθ(θ')=Fθ(x(θ'),θ'). 但我们知道,x(θ')=x'.所以Fθ(x(θ'),θ')=Fθ(x',θ').而后者就是函数F(x',θ)在点θ'的斜率.这就是说,函数V(θ)和函数F(x',θ)在点(x',θ')处的斜率相等. 这个结论对于x'取任意一个固定值都是成立的,所以从几何图形上来看,见图示,最优目标函数V(θ)把普通目标函数曲线族紧紧包围住.因此,dF=Fθ(x,θ)dθ 往往又称为"包络定理"(envelope theorem). 微观经济学里面的短期成本和长期成本之间的关系就是符合信封定理的,因为这里的成本都是满足了成本最小化之后的成本。

均衡原则

微观经济学研究消费者行为时，所要阐述的核心问题是消费者均衡的原则。所谓消费者均衡指的是一个有理性的消费者所采取的均衡购买行为。进一步说，它是指保证消费者实现效用最大化的均衡购买行为。

但人的需要或欲望是无限的，而满足需要的手段是有限的。所以微观经济学所说的效用最大化只能是一种有限制的效用最大化。而这种限制的因素就是各种商品的价格和消费者的货币收入水平。

首先，我们先引入一些名词解释:

总效用(TU):消费者在一定时间内消费一定数量某种商品或商品组合所得到的总的满足。

边际效用(MU):消费者在所有其它商品的消费水平保持不变时，增加消费一单位某种商品所带来的满足程度的增加，也就是说指增加一单位某种商品所引起的总效用的增加。

商品数量(Q)，商品价格(P), 收入(I)

边际效用的公式表达为:MU=∂TU/∂Q

那么如何才能实现在制约条件下效用最大化的商品组合呢？

就是当消费者把全部收入用于购买各种商品时，他从所购买的每一种商品所得到的边际效用与其价格的比例都相同，这样的商品组合就是最佳的或均衡的商品组合。

假设当消费者选择两种商品x,y时，消费者均衡原则的公式表达为:

MUx/Px = MUy/Py("/"为分数线）