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分形几何与景观设计（分形几何与景观设计的区别）
发布时间：2023-03-17 00:21:55
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大家好！今天让创意岭的小编来大家介绍下关于分形几何与景观设计的问题，以下是小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。
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本文目录:
一、分形的概况
芒德布罗曾经为分形下过两个定义：
（1）满足下式条件
Dim(A)>dim(A)
的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
分形一般有以下特质：
在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）； 有著简单的递归定义。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。 上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。
中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
二、48思维模型：分形理论一非线性科学三大理论前沿之一
我们上学的时候都学过，我国的海岸线全长一万八千余公里(北起鸭绿江口,南止北仓河口)。这个长度是以1公里长的标尺测量得到的。然而如果我们采用短些的标尺,例如1 厘米长的标尺,则测得海岸线长度为381.2万公里,这是地理书上给出长度的212倍。为什么呢？
原因是由于港湾海角的存在,海岸线是相当的曲折,用大的标尺去测量会忽略掉其很多的弯曲的细节。海岸线的长度与测量单位有关，以1km为 单位测量海岸线，就会将短于1km的迁回曲折长度忽略掉;若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迁回曲折，长度将变大;若测量单位进一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一一个确定值，这就是海岸线的长度。
其实早在1967年Mandelbrot就提出“英国的海岸线有多长?”的问题
Mandelbrot发现:当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。
在自然界中，几乎没有什么东西是平缓的，大多数事物都是有皱褶的、不规则的、细圆齿状的，通常都以一种自相似的形式存在。想想森林、山脉、蔬菜、云和海洋表面。由此看来，大多数自然物体都没有绝对的客观长度，在陈述测量结果时，很重要的一点是分辨率是多少。
人类在设计和制造人类工程学产品时，无论是原始的罐子和工具，还是现代化的复杂汽车、计算机和摩天大楼。我们都使用并且追求直线、平滑曲线和平滑表面的简单性。量化测量的发展及数学的发明，尤其是欧几里得几何的理想化范式，完美地展现了这一点。
在这个人工制品的新世界中，我们不可避免地习惯于通过蒙蔽我们的欧几里得几何(直线、平滑曲线和平滑表面)的滤镜观察世界。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等，用欧几里德几何学是无能为力的。
复杂科学认为，客观世界是高度复杂的，而且被褶皱、波纹和小褶皱主导。正Mandelbrot简单明了地概述:“平缓的形状在野外很少见，但在象牙塔和工厂中极为重要。”
所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。
产生于上世纪70年代的分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系。
分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生命力。世界上1257种学术刊物在80年代后期发表的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发表论文来看，所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。
1 、分形的定义 ：部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。（Mandelbrot）
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何。 分形几何也是目前最前沿的学科。
我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几何是研究自然界大量存在的不规则形体。
伟大的数学家美籍华人陈省身认为几何学可分为以下阶段:
第一阶段：公理(欧几里德) ;
第二阶段：坐标(笛卡尔、费马) ;
第三阶段：微积分(牛顿 菜布尼兹) ;
第四阶段：群(克莱因、李)
第五阶段：流形(黎曼) ;
第六阶段：纤维丛(嘉当、惠特尼)。
第七阶段：分形几何(曼德勃罗特)
所以分形几何是二十一世纪的几何。
2 、分形的提出者：Mandelbrot
分形这个名词是由曼德勃罗特在1975年首次提出（创造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体。曼德勃罗特是美国IBM公司沃特森研究中心自然科学部高级研究员，哈佛大学应用数学兼职教授，美国国家科学院院士。曾先后在哈佛大学教过经济学，在耶鲁大学教过工程学，在爱因斯坦医学院教过生理学。研究领域横跨数学、物理学、地学、经济学、生理学、计算机、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、哲学与艺术等众多学科与专业，是一位真正的跨学科的博学家。正是这些不同学科或问题的杂交，才结出一个完全新颖的果实一一分形理论。他出版的专著《自然界的分形几何学》，代表着分形理论初步形成。
1 、自相似性
分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。例如菜花、树叶等。
人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的性质。
物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。
一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。
佛说：一沙一世界，一花一天堂；袖里有乾坤，壶中有日月； 在每一粒灰尘中都呈现出无数的佛。《易经》认为:“无极生两仪，俩仪生四象，四象生八卦。《道德经》认为：道生一、一生二、二生三、三生万物、以今天分形几何的观点来看，古人的思想里包含有自相似概念。
2 、标度不变性
所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。
自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。
分形理论是一个交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。
美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能称为科学的文化人。说明了分形理论的巨大科学价值。下面从哲学、经济等几个维度阐述一下分形理论的应用。
1 、哲学
（1）整体与部分
分形理论打破了整体与部分之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁即整体与部分之间的相似。从认识事物的途径或思考问题的方法来看，分形论与系统论分别体现了从两个端点出发的思路。它们之间的互补，恰好完整地、全面地体现了辩证的思维方法。系统论由整体出发来确立各个部分的系统性质，它沿着从宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。而分形论则由部分出发来确立整体的性质，沿着微观到宏观的方向考察部分与整体之间的相似性。也就是说，系统论强调了部分依赖于整体的性质，体现了从整体出发认识部分的方法，分形论强调了整体依赖于部分的性质，体现了从部分出发认识整体的方法。于是，两者构成的互补，即系统论和分形论相互辉映，极大地提高了人类对自然界认识的能力。
分形论作为认识世界的一新方法，不仅在于从整体与部分之间的信息“同构”中，找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁，为人们从部分中认识整体、从有限中认识无限提供了可能和根据，而且分形论的提出使人们对整体与部分关系的认识方法、思维方法由线性阶梯进展到非线性阶梯，揭示了它们之间多层面、多视角、多维度的联系方式。
（2）生成论和构成论的自然观
自然观与自然科学的发展紧密联系，任何关于自然界的科学理论，原则上都可以成为建立某种自然观的根据，并形成一种研究纲领。例如，随着物理学的发展出现过以牛顿力学为基础的力学世界图景、以热力学为基础的能学世界图景、以电磁学为基础的电磁世界图景以及基本相互作用统一的物理世界图景，随着生物学的发展出现进化世界图景，随着非平衡态热力学的发展出现自组织世界图像。分形几何作为描述复杂自然形态及其生成机制的有力工具，又为人类建构新的自然图景提供了新的科学根据，形成一种新的自然图景。
分形理论已经对自然观产生强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。
在人类探索宇宙的本原之始，就存在着事物是由本原生成的还是由本原构成的争论。生成论认为事物是由本原生成的，它的变化是“产生”、“消亡”或“转化”；构成论认为事物是由本原构成的，它的变化是要素之间的结合或分离。构成论思想产生于古代希腊的原子论，深深地影响着科学家的思维。构成论认为自然界的一切事物都归结为基本粒子的结合或分离。这种思考和分析问题的方法推动了科学技术的进步，取得一系列成果，诸如汽车、电视机、电脑等产品给人类的生活带来了许多方便和舒适。但是，根据构成论思想，把一个东西不断分割下去，以便给出一切问题的解答，遇到很大困难。所以科学家们开始转向生成论。宇宙的演化、生物的进化、思维的形成无不表现为一个生成的过程，这一切无不支持生成论，但因其缺乏理论支持，而未能被科学界普遍接受。分形生成过程的迭代性(或递归性)为生成论自然观提供了理论根据，而且分形几何已经证明，任何复杂的事物形态原则上都可以通过迭代法生成。
2 、经济学
股票价格变动图因价格涨落得非常厉害，而且完全是随机的，因此使人感到几乎无规律可循。但若从统计学观点解析这一变动，就会发现有很好的规律。Mandelbrot发现下面两个法则：
⑴每个单位时间内的股票价格变动分布，服从特性指数D≈1.7的对称稳定分布。
⑵单位时间不论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说，适当地改变尺度，就可成为同样的分布。
因此，我们可以从分形的角度去思考股票价格的波动，虽然不能够帮助我们预测未来，但为我们提供了一个分析维度。
3 、其他领域（音乐、艺术、图形压缩等）
著名的电影“星球大战”就是利用分形技术创作的。由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独钟，分形图像压缩被认为最具前景的图像压缩技术之一，分形图形学被认为是描绘大自然景色最诱人的方法。
分形音乐是利用分形理论来建构一些带有自相似小段的合成音乐，由一个算法的多重迭代产生的，主题在带有小调的三番五次的返复循环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化，它所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐。
总结
分形理论是一门重要的新学科，它的历史很短，但是卷入分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料学家等，在社会科学与人文科学方面，大批哲学家、经济学家、金融学家乃至作家画家和电影制作家都蜂拥而入。分形理论正处于发展之中，它涉及面广但还不够成熟，对它争论也不少，但是由于已被广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有领域，所以成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。
参考文献：
分形的哲学漫步——林夏水
分形理论的科学和哲学意义——张国祺
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三、虎跳峡龙蟠右岸土石混合体粒度分形特征研究
徐文杰 胡瑞林
（中国科学院地质与地球物理研究所工程地质力学重点实验室 北京 100029）
摘要 应用分维理论对虎跳峡龙蟠右岸分布的土石混合体粒度分布的分维规律进行了研究分析，建立了平均粒径与相应的分维数之间的定量关系模型。通过研究表明，土石混合体具有良好的统计自相似性，由于其本身为级配不良土，在分维曲线上表现为双重分形分布，这种特殊的分维分布与土石混合体的成因及形成过程有关。
关键词 土石混合体 分形 粒度分析 平均粒径
土石混合体一般是由作为骨料的碎石或者块石和作为充填成分的粘土或砂土组成的一种特殊的工程地质体（图1）。其成因一般较为复杂，主要有坡积成因、崩积成因、冲洪积成因、冰积成因及人工堆积等，具有物质成分复杂、结构分布极其不规则、具地域性等特性，力学性质介于土与岩体之间。土石混合体是一种典型的粒状体，其力学性质和工程性状与其结构特性密切相关，土石混合体的结构特性从某种程度上决定了其力学性质和工程特性。但是由于土石混合体的成因决定了其结构具有高度的非线性特征，这就给我们研究其结构特征带来了很大的困难。
图1 虎跳峡龙蟠右岸土石混合体
近年来，突变理论、混沌理论、分形几何等与非线性复杂现象有关的新理论、新观点、新方法已不同程度地渗入到岩土力学的研究领域。尤其是分形几何（Fractal Geometry）理论自20世纪80年代形成以来，在岩土力学领域得到了广泛的应用，使得过去我们认为难以解释或难以描述的问题的解决变成可能。80年代末，分形方法被引入到土的结构研究中，国内外的许多学者对此进行了较为深入的探讨和研究，包括 E.Perfect［1］，V.Rasiab［2］，D.L.Turcotte［3］，及国内的刘松玉［4］、胡瑞林［5］、徐永福［6］等。所有的这些理论和经验，为我们在土石混合体的结构研究方面开辟了一条新的途径。
本文应用分形几何理论，对虎跳峡龙蟠右岸分布的土石混合体的粒度成分进行了分维分析，取得了一些有益的结论。
1 土石混合体的基本粒度构成
据勘查资料，龙蟠右岸表层土石混合体的分布厚度为5.0～40.0m不等，碎石粒径1～5cm居多，其碎石骨料主要由砂岩组成，少量为板岩风化碎屑，而且表面极其粗糙、菱角分明、形状不规则（图1）；填充料为粘土，含量甚少。研究区土石混合体的成因主要为坡积和冰积。
为了研究的需要，我们选定位于虎跳峡水电勘查工程龙蟠1#平硐附近的土石混合体作为本次试验研究的采样场地，其高程约为1892.0m。在试验过程中，共选择了7个取样点，其位置分布位于龙蟠右岸变形体范围之内（图2），各试验点的筛分取样质量见表1。对这些样品我们进行了现场粒度筛分试样，得到了各粒组的质量百分含量（表2）。
图2 粒度分析点布置示意图
表1 各试验点的取样质量
表2 各试样的粒度分形分析结果
注：表中r代表颗粒粒径，所有颗粒粒径单位均为cm。
2 土石混合体粒度分维计算模型
分形几何是一门新的数学分支，它主要是用来描述自然界的不规则以及杂乱无章的现象和行为。目前应用较多的是线性分形，即具有自相似性的分形。所谓自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质，定量描述这种自相似性的参数是分维。但是自然界的分形不像理论分形那么纯粹和“干净”，存在着标度区，研究对象是否为分形的区别准则是无标度性的［4］。
自法国数学家Mandelbrot提出分形理论以来，人们对地质现象的分形性质的研究与日俱增。土体的粒度分布特征便是一种被广泛研究的地质现象。如果我们把研究的土体看作一个系统，显然这是一个开放的自组织系统，所谓自组织是在没有外交特定的干预下系统所获得的空间的、时间的或功能的结构。这样的系统存在着对其演化起主导作用的自由度，其大小表征了系统的有序程度。粒度分布实质上描述的是这一系统物质组成的空间结构（分形结构），由于分维大小与土体演化环境、力学性质密切相关，一次可以把分维作为描述该系统自组织程度的一个参数——序参量［4］。土石混合体属于土体这个自组织系统的整个演化过程中的一个高级演化阶段，用分维来描述其粒度分布对于土石混合体的结构研究具有重要的意义。
根据分形理论，设用孔径为r的筛子来筛分试验区的土石混合体，粒径≤r的颗粒数目为N（r），它与粒径r满足下列关系：
N（r）∝ r-D （1）
式中：D为土石混合体颗粒分布的分维数。
由于土石混合体的粒度分析过程中，样本量大，直接计算颗粒的数目相当困难，甚至是不可能的。为了实用上的方便，必须对（1）式加以改进。
对（1）式求导，可得
dN（r）∝ r-D-1dr （2）
在成因类型相同且分布在同一研究区域内的地质体，颗粒密度可以认为是不变的。在这种情况下，颗粒的质量与其粒径的3次方成正比，即满足如下关系式：
dM（r）∝ r3dN（r） （3）
式中：M（r）为粒径≤r的颗粒总质量。
将（3）式代入（2）式得
dM（r）∝ r2-Ddr （4）
对（4）式进行积分得到
M（r）∝ r3-D （5）
由于粒径≤r的颗粒的质量累计百分含量P（r）与M（r）成正比关系，即P（r）∝M（r），代入（5）式得
P（r）∝ r3-D （6）
因此，根据土石混合体的颗粒分布累计曲线，作出P（r）～r在双对数坐标下的曲线图形，求出无标度区的直线部分的斜率 n，即可方便地求出土石混合体粒度分布的分维数：
D＝ 3 - n （7）
3 土石混合体粒度分形的数据处理
根据现场各试样的颗粒筛分结果，求出各个粒组对应的质量百分含量，累积即可得小于粒径r的颗粒的质量累计百分含量P（r）。根据所求得的P（r）及相应的r我们就可以对研究区的土石混合体进行分维分析。根据计算结果我们得到了相应各试样的分维值D和回归相关系数R（见表2），及各试样的颗粒分维分布及颗粒含量累积曲线（图3）。
图3 各试样的颗粒分形分布及颗粒含量累积曲线
从表2的分形分析结构及粒度分形曲线上可以看出，尽管试验区土石混合体的颗粒粒径尺寸悬殊达2～160mm之多。但通过将各试样的粒径尺度划分为两个范围即：r≤20mm和r＞20mm两段，然后在各量测尺度范围内进行分维计算分析，结果发现在各量测尺度内各个试样的lgP（r）和lgr之间存在很好的线性相关性，回归系数R都在0.97 以上，说明研究区的土石混合体粒度分布具有良好的分形结构，在统计意义上满足自相似规律。
4 土石混合体粒度分形特征分析
4.1 研究区土石混合体的粒度分维曲线特征
从研究区各试样的粒度分维分布曲线可以看出，该区的土石混合体的颗粒分布具有2个维数，即为二重分维分布。这与土石混合体的粒径分布极其不均匀有关，如本区的土石混合体Cu达到50而Cc大于5，属于级配不良土。
从分形分布曲线上还可以看出，虽然各个试样均具有二重分维特征，但对每个研究试样来说这两个分维量测尺度均被r＝20mm所分割。形成了r≤20mm所对应的包含砂粒、粉粒及粘粒的“细粒”区和r＞20mm所对应的包含碎石及块石的“粗粒”区两个分维空间，每个分维空间分别对应不同的维数D1和D2，且满足D1＜D2。
土石混合体粒度分维呈现的这种二重分维乃至多重分维现象，应该从其各粒度分维空间成因来解释。研究区分布的土石混合体主要是坡积或冰积成因的，由于其搬运距离短，其物源多为粒度极其不均匀、分选性很差的块石等组成，这些物质构成了现在的土石混合体的骨架——“粗粒”；而在数万年的风化及地下水流的冲刷、搬运等作用下，部分大颗粒被分解，形成土石混合体的充填成分——“细粒”。由于成因上的差别，使得这些“细粒”相对于作为骨架的“粗粒”分选性较好，在粒度分维曲线上表现为分段现象（多重分维现象），而相应的分维数则表现为前面所述的D1＜D2。
从图3中可以看出，D1和D2差值的绝对值（在图中表现为两回归拟和直线的夹角）的大小与其对应的颗粒累积曲线有关，绝对值越小（即两直线的夹角越小）其对应的累积曲线就越平缓，土石混合体的分选性就越差，级配相对越好。当D1和D2趋于相等时，对应于级配良好土。
4.2 研究区土石混合体的粒度分维特征
从试验点布置图我们可以看出，整个试验场地大致可以分为3个试验子区，即：子区一，包括1#，3#，4#试验点；子区二，包括2#，5#试验点；子区三，包括6#，7#试验点。分析表2可以看出，在各个子区内各试验点的分维数相差不大，而各子区之间试验点的分维数相差相对较大。如“子区三”的6#，7#试验点的D1分别为2.39和2.34，D2为2.77和2.71。这与土石混合体在形成过程中受到的各种条件（如地形、地貌等）因素的影响造成其分布极其不均匀有关。例如在现场踏勘过程中可以看到，在子区二即虎跳峡龙蟠1#勘探平硐洞口位置，有两块巨砾将其与周围的子区一和子区三分开，造成了其分维数上的差别。但是从整个试验场地来看，其分维数分布在D1＝2.34～2.57及D2＝2.67～2.91区域。所有这些，从另一个侧面反映了土石混合体这种特殊的地质体在空间上分布的极其不均匀性，但同一成因类型或者同一成因类型中的某一部位（如研究区位于龙蟠右岸变形体的下部）的粒度分维数近似或者相等，这给我们对土石混合体的区划提供了定量指标。
4.3 平均粒径与土石混合体的粒度维数的关系
对于不同的筛分试样，同一个P（r）可能对应于不同的r值及不同的分维数D。现在我们来分析一下当P（r）取某一值时，对于不同筛分试样的r与分维数D之间的对应关系。
由（6）式可有
P（r）＝ Kr3-D＋ C （8）
式中：K、C为常数。
对（8）式两边取对数有
土石混合体
据（9）式我们可以求得其平均粒径（即P（d50）＝50时的粒径d50）与分维数D满足下列关系：
土石混合体
根据图3我们可以得到试验区各个试样的d50及其对应的维数D（表3），然后在半对数-分数坐标中绘制
间的关系（11）式，相应的回归相关系数R＝0.9337，该关系式很好地描述了土石混合体的平均粒径与对应维数之间的定量关系。
土石混合体
表3 各试样的平均粒径及对应分维数
图4 平均粒径与对应维数之间的关系曲线
从（11）式可以看出，试样的分维数在某种程度上反映了土石混合体平均粒径的大小，随着平均粒径的增大其具有降低的趋势，可以作为描述土石混合体粗细程度的一个指标。
5 结论
（1）在各种内外动力作用下破坏形成的碎石块体，经过搬运沉积，再经过数万年的风化、填充作用，形成了今天的各种各样的土石混合体。虽然这种特殊的地质体成因复杂多样，但是其粒度分布仍然具有良好的统计自相似性。分维数可以用来作为土石混合体区划的定量参数，为进一步研究土石混合体的成因、分布等具有重要的意义。
（2）土石混合体属于级配不良土，其粒径分布极其不均匀，但粒径分布具有多重分维特性。本研究区的土石混合体具有二重分维结构（对应两个分形维数D1和D2），这与土石混合体中“粗粒”和“细粒”的成因类型有关。D1和D2之差的绝对值反映了土石混合体颗粒累积曲线的平缓程度及其分选性好坏。
（3）分维数的大小在某种程度上反映了土石混合体的平均粒径的大小，通过将平均粒径d50与其对应的维数D进行回归，其研究结果表明lgd50和
参考文献
［1］ Perfect E，Kay B D.Fractal theory applied to soil aggregation.Soil Sci.Soc.Am.，1991，J.55，1552～1558
［2］ Rasiah V，Kay B D，Perfect E.New mass-based model for estimating fractal dimensions of soil aggregates.Soil Sci.Soc.Am.，1993，57，891～895
［3］ Turcotte D L.Fractals and fragmentation.Geophys.Res.，1986，91（B2），1921～1926
［4］刘松玉，方磊，陈浩东.论我国特殊土粒度分布的分形结构.岩土工程学报，1993，15（1）：23～30
［5］胡瑞林，李向全等.分形理论在黄土湿陷性微结构效应研究中的应用.非线性动力学学报，1996，3（4）：360～366
［6］徐永福，刘斯宏，董平.粒状土体的结构模型.岩土力学，2001，22（4）：366～372
［7］柏春广，王建.一种新的粒度指标：沉积物粒度分维值及其环境意义.沉积学报，2003，21（2）：234～239
［8］谢和平.分形——岩石力学导论.北京：科学出版社，2005
［9］陈颙.分形几何.北京：地震出版社，1998
［10］徐文杰，胡瑞林等.虎跳峡龙蟠右岸土石混合体野外试验研究.岩石力学与工程学报，2006，25（6）：1270～1277
［11］殷跃平，张加桂.三峡库区巫山移民新城址松散堆积体成因机制研究.工程地质学报，2000，8（3）：265～271
［12］ Oleschko K，Figueroa B S，Miranda M E etc.Mass fractal dimensions and some selected physical properties of contrasting soils and sediments of Mexico.Soil ＆ Tillage Research 2000，55：43～61
［13］ James P Hyslip，Luis E Vallejo.Fractal analysis of the roughness and size distribution of granular materials.Engineering Geology，1997，48：231～244
四、who knows Fractal,Chaos,and Soliton?
1,Fractal（分形）一词的由来
谁创立了分形几何学？
1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：
a^D=b, D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
分形的定义
曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
（1）满足下式条件
Dim(A)>dim(A)
的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
神话学单词：Chaos混沌/chaos混乱
http://www.sina.com.cn 2003/03/06 10:06 新东方教育在线
希腊、罗马神话对英国文学影响巨大，在文艺复兴时期尤甚。其中的故事以及词语渗透于英语的各个方面。要掌握这些单词，最好能了解它们的来源。从本期起，特邀熟谙西方文化的李传伟老师给我们撰写相关文章，帮助大家了解神话，学习西方文化并记忆词汇。
真义chaos(名词)意为“混乱、无序”；C大写时(即Chaos)意为“混沌”——传说中宇宙形成前模糊一团的景象。chaos的形容词是chaotic，意为“混乱的，杂乱的；混沌的”。常用于下列结构中：in chaos(处于混乱之中); a chaos of(杂乱的); create chaos(制造混乱); throw sth.sintoschaos(使某事陷于混乱之中)。
本原Chaos(混沌)是宇宙形成之初的第一“力量”,是希腊人对宇宙这一广袤、黑暗的空间的称呼。在希腊语中，Chaos为天地之母,意思是“裂开”。希腊《神谱》作者赫西俄德(Hesiod)之所以以Chaos为天地之母，很可能因为他认为“无生于无”(Nothing comes from nothing)；不过既然“无”能“生于无”，就可见Chaos不可能是一物不存的空间,而可能是无形的杂乱物质组成的散乱的空间。
这一混沌观念让人想起《圣经》中的创世故事。钦定本《圣经》的《创世记》(Genesis)中写道：“地是空虚混沌；渊面黑暗”(“The earth was formless and void, and darkness was over the surface of the deep”)。但这里的大地既不指该亚(Gaia)，也不是由Chaos生成——而是由上帝创造。在希腊神话中，Chaos是伟大的原创力；在《圣经》中，Chaos必须由上帝这一创世者来驯服和塑造。其他一些文明的创世神话，如澳大利亚土著的创世神话中也有类似的混沌观念。
希腊人并非特别眷恋Chaos，它不过是至高无上的神宙斯的杰作，旨在于无序的原创力和事物之上建立有力秩序。然而，在基督教的传统中，Chaos的观念令人恐惧。与Chaos相对的是cosmos，因为后者指的是被视为和谐体系的宇宙。cosmos的形容词是cosmic。cosmo作为词根，具有很强的构词能力。如：cosmogony宇宙的起源；天体演化学；cosmology宇宙论；宇宙哲学。
巧记Chaos这个词除了可以根据来源记忆外，也可以用拆分法记忆：Chaos=chao(汉语拼音拼成“吵”)+s(汉语拼音拼成“死”)→“吵死了”→混乱。
收获A lull in growth could hurt London itself in the long term as well as the short term. London has succeeded despite a poor transport system; if it is to thrive in the future, it needs a better one. But the danger is that, when the pressure is off, everybody forgets about the need for new investment; and then, next time round, the chaos is even worse.(经济增长出现呆滞，这无论是短期还是长期都会给伦敦造成损害。伦敦尽管运输系统较差，但经济上仍然取得了成功。假如伦敦在未来要繁荣，它的运输系统就必需改善。但这么做存在危险：压力消除以后，人们就会将为改善运输系统进行新投资的需要抛诸脑后。这样一来，下一次再出现类似情况时，会更加混乱。)(Jan.15, 2003, Economist)
什么是光孤子
孤子（Soliton）又称孤立波，是一种特殊形式的超短脉冲，或者说是一种在传播过程中形状、幅度和速度都维持不变的脉冲状行波。有人把孤子定义为：孤子与其他同类孤立波相遇后，能维持其幅度、形状和速度不变。
孤子这个名词首先是在物理的流体力学中提出来的。1834年，美国科学家约翰·斯科特·罗素观察到这样一个现象：在一条窄河道中，迅速拉一条船前进，在船突然停下时，在船头形成的一个孤立的水波迅速离开船头，以每小时14～15km的速度前进，而波的形状不变，前进了2～3km才消失。他称这个波为孤立波。
其后，1895年，卡维特等人对此进行了进一步研究，人们对孤子有了更清楚的认识，并先后发现了声孤子、电孤子和光孤子等现象。从物理学的观点来看，孤子是物质非线性效应的一种特殊产物。从数学上看，它是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解。即是说，它能始终保持其波形和速度不变。孤立波在互相碰撞后，仍能保持各自的形状和速度不变，好像粒子一样，故人们又把孤立波称为孤立子，简称孤子。
由于孤子具有这种特殊性质，因而它在等离子物理学、高能电磁学、流体力学和非线性光学中得到广泛的应用。
1973年，孤立波的观点开始引入到光纤传输中。在频移时，由于折射率的非线性变化与群色散效应相平衡，光脉冲会形成一种基本孤子，在反常色散区稳定传输。由此，逐渐产生了新的电磁理论——光孤子理论，从而把通信引向非线性光纤孤子传输系统这一新领域。光孤子（soliton）就是这种能在光纤中传播的长时间保持形态、幅度和速度不变的光脉冲。利用光孤子特性可以实现超长距离、超大容量的光通信。
光孤子通信
光纤通信中，限制传输距离和传输容量的主要原因是“损耗”和“色散”。“损耗”使光信号在传输时能量不断减弱；而“色散”则是使光脉冲在传输中逐渐展宽。所谓光脉冲，其实是一系列不同频率的光波振荡组成的电磁波的集合。光纤的色散使得不同频率的光波以不同的速度传播，这样，同时出发的光脉冲，由于频率不同，传输速度就不同，到达终点的时间也就不同，这便形成脉冲展宽，使得信号畸变失真。现在随着光纤制造技术的发展，光纤的损耗已经降低到接近理论极限值的程度，色散问题就成为实现超长距离和超大容量光纤通信的主要问题。
光纤的色散是使光信号的脉冲展宽，而光纤中还有一种非线性的特性，这种特性会使光信号的脉冲产生压缩效应。光纤的非线性特性在光的强度变化时使频率发生变化，从而使传播速度变化。在光纤中这种变化使光脉冲后沿的频率变高、传播速度变快；而前沿的频率变低、传播速度变慢。这就造成脉冲后沿比前沿运动快，从而使脉冲受到压缩变窄。
如果有办法使光脉冲变宽和变窄这两种效应正好互相抵消，光脉冲就会像一个一个孤立的粒子那样形成光孤子，能在光纤传输中保持不变，实现超长距离、超大容量的通信。
光孤子通信是一种全光非线性通信方案，其基本原理是光纤折射率的非线性（自相位调制）效应导致对光脉冲的压缩可以与群速色散引起的光脉冲展宽相平衡，在一定条件（光纤的反常色散区及脉冲光功率密度足够大）下，光孤子能够长距离不变形地在光纤中传输。它完全摆脱了光纤色散对传输速率和通信容量的限制，其传输容量比当今最好的通信系统高出1~2个数量级，中继距离可达几百km。它被认为是下一代最有发展前途的传输方式之一。
从光孤子传输理论分析，光孤子是理想的光脉冲，因为它很窄，其脉冲宽度在皮秒级（ps，即s）。这样，就可使邻近光脉冲间隔很小而不至于发生脉冲重叠，产生干扰。利用光孤子进行通信，其传输容量极大，可以说是几乎没有限制。传输速率将可能高达每秒兆比特。如此高速将意味着世界上最大的图书馆――美国国会图书馆的全部藏书，只需要100秒就可以全部传送完毕。由此可见，光孤子通信的能力何等巨大。
主要技术内容
近年来，光孤子通信取得了突破性进展。光纤放大器的应用对孤子放大和传输非常有利，它使孤子通信的梦想推进到实际开发阶段。光孤子在光纤中的传输过程需要解决如下问题：光纤损耗对光孤子传输的影响，光孤子之间的相互作用，高阶色散效应对光孤子传输的影响以及单模光纤中的双折射现象等。由此需要涉及到的技术主要有：
适合光孤子传输的光纤技术。研究光孤子通信系统的一项重要任务就是评价光孤子沿光纤传输的演化情况。研究特定光纤参数条件下光孤子传输的有效距离，由此确定能量补充的中继距离，这样的研究不但为光孤子通信系统的设计提供数据，而且通常导致新型光纤的产生。
光孤子源技术。光孤子源是实现超高速光孤子通信的关键。根据理论分析，只有当输出的光脉冲为严格的双曲正割形，且振幅满足一定条件时，光孤子才能在光纤中稳定地传输，目前，研究和开发的光孤子源种类繁多，有拉曼孤子激光器、参量孤子激光器、掺饵光纤孤子激光器、增益开关半导体孤子激光器和锁模半导体孤子激光器等。现在的光孤子通信试验系统大多采用体积小、重复频率高的增益开关DFB半导体激光器或锁模半导体激光器作光孤子源。它们的输出光脉冲是高斯形的，且功率较小，但经光纤放大器放大后，可获得足以形成光孤子传输的峰值功率。理论和验均已证明光孤子传输对波形要求并不严格。高斯光脉冲在色散光纤中传输时，由于非线性自相位调制与色散效应共同作用，光脉冲中心部分可逐渐演化为双曲正割形。
光孤子放大技术。全光孤子放大器对光信号可以直接放大，避免了目前光通信系统中光/电、电/光的转换模式。它既可作为光端机的前置放大器，又可作为全光中继器，是光孤子通信系统极为重要的器件。实际上，光孤子在光纤的传播过程中，不可避免地存在着损耗。不过光纤的损耗只降低孤子的脉冲幅度，并不改变孤子的形状，因此，补偿这些损耗成为光孤子传输的关键技术之一。目前有两种补偿孤子能量的方法，一种是采用分布式的光放大器的方法，即使用受激拉曼散解放大器或分布的掺铒光纤放大器；另一种是集总的光放大器法，即采用掺铒光纤放大器或半导体激光放大器。利用受激拉曼散射效应的光放大器是一种典型的分布式光放大器。其优点是光纤自身成为放大介质，然而石英光纤中的受激拉曼散射增益系数相当小，这意味着需要高功率的激光器作为光纤中产生受激拉曼散射的泵浦源，此外，这种放大器还存在着一定的噪声。集总放大方法是通过掺铒光纤放大器实现的，其稳定性已得到理论和试验的证明，成为当前孤子通信的主要放大方法。光放大被认为是全光孤子通信的核心问题。
光孤子开关技术。在设计全光开关时，采用光孤子脉冲作输入信号可使整个设计达到优化，光孤子开关的最大特点是开关速度快（达10-2s量级），开关转换率高（达100%），开关过程中光孤子的形状不发生改变，选择性能好。
发展前景
全光式光孤子通信，是新一代超长距离、超高码速的光纤通信系统，更被公认为是光纤通信中最有发展前途、最具开拓性的前沿课题。光孤子通信和线性光纤通信比较有一系列显著的优点：一、传输容量比最好的线性通信系统大1个~2个数量级；二、可以进行全光中继。由于孤子脉冲的特殊性质使中继过程简化为一个绝热放大过程，大大简化了中继设备，高效、简便、经济。光孤子通信和线性光纤通信比，无论在技术上还是在经济都具有明显的优势，光孤子通信在高保真度、长距离传输方面，优于光强度调制/直接检测方式和相干光通信。
正因为光孤子通信技术的这些优点和潜在发展前景，国际国内这几年都在大力研究开发这一技术。迄今为止的研究已为实现超高速、超长距离无中继光孤子通信系统奠定了理论的、技术的和物质的基础：
一.孤子脉冲的不变性决定了无需中继；
二.光纤放大器，特别是用激光二极管泵浦的掺铒光纤放大器补偿了损耗；
三.光孤子碰撞分离后的稳定性为设计波分复用提供了方便；
四.采用预加重技术，且用色散位移光纤传输，掺铒光纤集总信号放大，这样便在低增益的情况下减弱了ASE的影响，扩大了中继距离；
五.导频滤波器有效地减小了超长距离内噪声引起的孤子时间抖动；
六.本征值通信的新概念使孤子通信从只利用基本孤子拓宽到利用高阶孤子，从而可增加每个脉冲所载的信息量。
光孤子通信的这一系列进展使目前的孤子通信系统实验已达到传输速率10~20Gbit/s，传输距离13000~20000公里的水平。
光孤子技术未来的前景是：在传输速度方面采用超长距离的高速通信，时域和频域的超短脉冲控制技术以及超短脉冲的产生和应用技术使现行速率10~20Gbit/s提高到100Gbit/s以上；在增大传输距离方面采用重定时，整形，再生技术和减少ASE，光学滤波使传输距离提高到100000公里以上；在高性能EDFA方面是获得低噪声高输出EDFA。当然实际的光孤子通信仍然存在许多技术的难题，但目前已取得的突破性进展使我们相信，光孤子通信在超长距离、高速、大容量的全光通信中，尤其在海底光通信系统中，有着光明的发展前景。
以上就是关于分形几何与景观设计相关问题的回答。希望能帮到你，如有更多相关问题，您也可以联系我们的客服进行咨询，客服也会为您讲解更多精彩的知识和内容。
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