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gpt目标函数（gan目标函数）

发布时间：2023-05-31 20:28:18 稿源：创意岭阅读： 89

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本文目录:

什么数学模型或者公式支持了Transformer模型的训练目标？
什么是内生增长起源
gpt4参数量

gpt目标函数（gan目标函数）

什么数学模型或者公式支持了Transformer模型的训练目标？

Transformer的架构、训练及推理等都是在Bayesian神经网络不确定性数学思维下来完成的。Encoder-Decoder架构、Multi-head注意力机制、Dropout和残差网络等都是Bayesian神经网络的具体实现；基于Transformer各种模型变种及实践也都是基于Bayesian思想指导下来应对数据的不确定性；混合使用各种类型的Embeddings来提供更好Prior信息其实是应用Bayesian思想来集成处理信息表达的不确定性、各种现代NLP比赛中高分的作品也大多是通过集成RoBERTa、GPT、ELECTRA、XLNET等Transformer模型等来尽力从最大程度来对抗模型信息表示和推理的不确定性。
从数学原理的角度来说，传统Machine Learning及Deep learning算法训练的目标函数一般是基于Naive Bayes数学原理下的最大似然估计MLE和最大后验概率MAP来实现，其核心是寻找出最佳的模型参数；而Bayesian的核心是通过计算后验概率Posterior的predictive distribution，其通过提供模型的不确定来更好的表达信息及应对不确定性。对于Bayesian架构而言，多视角的先验概率Prior知识是基础，在只有小数据甚至没有数据的时候是主要依赖模型Prior概率分布(例如经典的高斯分布)来进行模型推理，随着数据的增加，多个模型会不断更新每个模型的参数来更加趋近真实数据的模型概率分布；与此同时，由于（理论上）集成所有的模型参数来进行Inference，所以Bayesian神经网络能够基于概率对结果的提供基于置信度Confidence的分布区间，从而在各种推理任务中更好的掌握数据的不确定性。

什么是内生增长起源

经济活动在短期内表现出较大的波动性，但在长期内则由增长主导，因此，长期增长是人们关注的主要内容之一。经济增长理论特别是内生增长理论(也称为新增长理论)是很多人研究的一个主要领域。本文对内生增长理论的演进和发展阶段提供了一个简要综述。
　　一内生增长理论的起源
　　内生增长理论起源于新古典增长理论。在新古典增长模型之前，哈罗德和多马相继提出了充分就业的增长模型，但他们的增长条件非常苛刻以至于被称为“刀刃条件”，它要求储蓄—产出比与产出—资本比的乘积等于技术进步速度与劳动力增长速度之和。由于模型中没有任何机制约束这个条件的实现，因此，增长得不到保证，一个重要原因是他们采用了没有替代弹性的里昂惕夫生产函数。
　　Solow(1956)开创了新古典增长模型，他使用了具有要素替代的生产函数，并假定它对资本K和有效劳动AL规模报酬不变。资本—产出比在这里被内生化，由于资本的边际报酬递减，资本—产出比最终稳定于一个常数。因此，索罗模型得到了稳态增长路径：不论初始状态如何，模型的变量收敛于不变的增长速度。在这里，稳态增长速度由外生技术进步速度决定，如果没有技术进步，人均产出最终会停止增长。新古典增长模型走出了悲观主义的马尔萨斯阴影，使人们对长期经济增长抱有希望，因而成为理解经济增长的基本工具。
　　有影响的外生增长模型还包括Cass(1965)和Koopmans(1965)对Ramsey(1928)动态最优化模型的扩展，即最优增长理论，和Diamond(1965)世代交替模型。这两个模型与索罗模型的区别是资本存量由最大化效用的家庭和最大化利润的竞争性企业的相互作用来决定，储蓄率不再像索罗模型里假定为外生不变，因而这里经济总量的变化取决于微观个体的决策。但经济长期增长速度仍然取决于外生技术进步速度。
　　新古典增长模型在完全竞争的市场环境里假定技术进步是外生的，但并不意味着这些模型认为技术进步不重要，他们只是通过这种简化来得出重要的结论。对技术进步的探讨正是内生增长理论(即新增长理论)的出发点。
　　二完全竞争的内生增长模型
　　Paul Romer(1986)和Robert Lucas(1988)是经济增长理论的一个里程碑，它重新激起人们对增长理论的强烈兴趣。在这之前的理性预期革命使宏观经济学的研究重心几乎都放在了经济周期理论上(Xavier Sala-i-Martin，2002)。
　　Paul Romer(1986)建立了一个具有内生技术变化的完全竞争均衡模型，3个条件的存在使竞争均衡得以实现：作为生产要素的知识具有递增的边际生产力，对知识的投资具有外部性，新知识的生产具有递减回报。第一个条件，作为无形资本的知识边际报酬递增，是与新古典增长模型的关键区别，新古典模型里资本的边际报酬递减。第二个条件，用消费品生产新知识呈现报酬递减，它避免了消费者的消费和效用增长过快，保证了长期递增但有界的产出增长率的存在。第三个条件，知识外部性的存在，使完全竞争均衡不再是帕累托最优。每个企业投资获得的新知识不仅对本企业有用，还会增加公共知识，对别的企业产生正的外部性。企业决策时只考虑了新知识的私人回报，不会考虑外部性，因而竞争均衡的企业投资低于社会最优投资。在这里，政府干预能够实现帕累托福利改善。
　　Paul Romer(1986)与Arrow(1962)有直接联系，Arrow的“干中学”尝试模型化递增回报，他假定具有公共性的知识是投资和生产的副产品，因而单个企业的生产率是全行业总投资的增函数。为了保证目标函数有限，Arrow假定生产函数对资本和劳动规模报酬递增，但固定劳动力供给时，资本的边际产品递减。这一假定使产出增长率不会超过人口增长率，如果人口停止增长，产出也将停止增长，这个结论显然不能令人满意。Paul Romer(1986)正是放弃了资本的边际产品递减的假定，而是假定知识作为一种资本品具有递增的边际产品，得出了长期递增但有界的产出增长速度。Paul Romer(1986)也被称为AK模型，因其生产函数可变换为Y=AK的形式，A是一个常数。
　　另外一篇有影响的文章是Robert Lucas(1988)，Lucas提出了一个最优化增长模型，与Uzawa(1965)一样明确引入人力资本的积累过程。它与Uzawa(1965)不同之处在于，Robert Lucas(1988)假定人力资本的积累具有外部性，这类似于Arrow(1962)物质资本积累的外部性和Paul Romer(1986)知识积累的外部性。由于有两种资本，Robert Lucas(1988)的均衡状态收敛于一条曲线，曲线上每一点的物质资本和人力资本的边际产品都相同，但是一个经济系统具体收敛于曲线上的哪一点则取决于经济系统的初始条件①。因此，每个经济体的长期增长速度相同，但人均产出水平不同，起初贫穷的会一直相对贫穷，起初富裕的会一直相对富裕。
　　Paul Romer(1986)和Robert Lucas(1988)的模型都是依赖知识积累的外部性来使增长内生化，从而绕开了对知识积累的回报问题。技术进步是由经济活动中的企业或个人决策间接决定的，因而它是内生的。但是，这里长期增长只是企业或个人行为的无意识副产品。因此，这种理论方法不能令人满意，很快就被直接设立利润最大化的R&D部门的模型取代了。
　　三不完全竞争的内生增长模型
　　企业投入大量成本进行R&D活动，新知识一旦被发现和创造出来，复制和拷贝新知识的边际成本极低。如果用完全竞争的定价法则来出售新知识，企业必将导致损失。因此，正视对知识积累的回报问题就必须放弃传统的完全竞争假定，把不完全竞争引入增长模型中，技术进步是经济主体有意识追求的目标。这正是内生增长理论的一个重大进展，Paul Romer(1987)、Paul Romer(1990)、Grossman and Helpman(1991)以及Aghion and Howitt(1992)代表了这个方向。
　　Paul Romer(1987)采用了不完全竞争模型，Dixit-Stiglitz形式的生产函数使最终产品的生产与中间产品的多样化呈递增关系，从而把专业化与报酬递增联系起来。与Paul Romer(1986)不同的是，由于这里引入了不完全竞争，中间产品的生产者具有市场势力，能够获取垄断租金，为技术开发提供补偿。
　　Paul Romer(1990)详细阐述了产品的竞争性和排他性，认为技术知识并不完全是非竞争性和非排他性的公共产品，它是非竞争性的，但具有部分排他性。因而完全竞争市场被放弃，转而使用具有市场势力的垄断竞争模型。技术知识由获取经济利益的部门专门生产，它的扩展表现为中间产品多样性的增加。它以两种不同的方式进入生产，一是以新的中间产品进入生产函数(排他性)，二是增加知识总存量，从而提高人力资本的生产率(非排他性)。Paul Romer(1990)与Paul Romer(1986)一样，认为即使不存在外生技术进步，不存在人口增长，只要知识能够持续积累，长期经济增长就能够实现。Paul Romer(1990)与Paul Romer(1987)不同的是，这里把垄断与技术扩散(知识的部分排他性)结合起来，而Paul Romer(1987)则没有考虑技术扩散。
　　上面基于中间产品多样化方法面临的一个重要局限是，随着新产品的增加，原有的产品会被替代或淘汰，即熊彼特式的“创造性毁灭”。垄断租金收入流最终会被后来的新产品截断，因此会导致对新产品研究投入不足，经济持续增长就不能维持。把“创造性毁灭”引入进来，就是质量阶梯模型，也称为熊彼特增长模型。熊彼特认为创新竞争比价格竞争更有价值，并且创新是一个非连续的过程。企业进行创新活动是受到对新产品暂时性垄断的吸引，但对手迟早会赶上来，使这种产品遭到淘汰。Grossman and Helpman(1991)以及Aghion and Howitt(1992)都属于质量阶梯模型。
　　Aghion and Howitt(1992)的模型里最终产品的生产依赖于中间投入品的质量，新的中间产品比原有产品质量高。企业对自己创造的中间产品拥有专有权，能获取垄断租金直到被更新的产品所取代。这里，新产品的创造具有双重效应，正效应是对未来的创新活动具有正的外部性，负效应是创新者使现有产品过时，攫取了现有垄断者的租金，这种社会损失并没有被创新者承担，因而是负的外部性。他们在质量创新活动中引入了不确定性，因而稳态增长也具有随机性，且能与经济周期联系起来。但平均增长速度既可能高于也可能低于最优增长速度，这取决于正负效应中哪一个占主导位置。Grossman and Helpman(1991)分析了类似的模型。
　　Paul Romer(1990)、Grossman and Helpman(1991)和Aghion and Howitt(1992)的模型中都明确设立有一个追求利润最大化的研究与开发部门，R&D内生化了技术进步，因此也被称为第一代R & D模型②。其中，Paul Romer(1990)属于水平创新模型(种类增多模型)，后两个属于垂直创新模型(质量提高模型)。
　　四“Jones批判”对内生增长理论的推进
　　第一代R&D模型与AK模型一样隐含着很强的规模效应(Scale Effect)，即长期均衡增长率与经济规模成比例。例如，随着人口增长，进行R&D活动的人数会增加，在其他条件不变的情况下，模型的结论是人均收入增长率会提高。正是这一点受到了Charles Jones(1995a)的批评。“二战”后，美国及其他OECD国家实际R&D人数成倍增加，但人均收入增长率基本上保持不变甚至略有下降，这一事实明显与上述规模效应矛盾。为了调和这个矛盾，出现了两种对第一代R&D模型的改进类型，一种是Charles Jones(1995b)、Samuel Kortum(1997)和Segerstrom(1998)等的“半内生”模型，另一种是Alwyn Young(1998)、Peretto(1998)、Aghion and Howitt(1998)和Dinopoulos and Thompson(1998)等仍然保留了的完全内生性质的模型③。
　　为了去掉规模效应④，同时保留内生技术进步，Charles Jones(1995b)把Paul Romer(1990)中R&D部门的知识溢出效应参数φ=1修改为φ＜1。这一看似简单的修改达到了去除规模效应的目的，却得出了令人惊异的性质：技术进步虽然仍然由R&D内生决定，但均衡增长速度取决于外生人口增长率。Samuel Kortum(1997)建立了一个Pareto分布的搜寻理论模型，随着技术前沿的扩展，技术创新变得越来越困难，也解释了为什么递增的R&D投入没有导致均衡增长速度的增加，但均衡增长速度同样取决于外生人口增长率。Segerstrom(1998)也假定每个部门中最容易的创新最先被发现，越到后面创新就越难。人口增加带来市场规模扩大的效应被抵消。这两个模型的不同之处：一是Samuel Kortum(1997)中研究人员是全才，不管在哪个部门，其研究能力相同，Segerstrom(1998)的研究人员是专才，只能在特定的部门进行研究；二是Samuel Kortum(1997)中R&D只有产业间(Across-Industry)扩散，没有产业内(Within-Industry)扩散，相反，Segerstrom(1998)中R&D有很强的产业内(Within-Industry)扩散，但没有产业间(Across-Industry)扩散。上述模型都可称为“半内生”模型——技术进步是内生的，但均衡增长率由人口这一外生参数决定，与新古典模型的结论很相似，政府政策因素也不再具有长期增长效应。
　　Alwyn Young(1998)、Peretto(1998)、Aghion and Howitt(1998)和Dinopoulos and Thompson(1998)针对规模效应提出了另外的改进，并且能使政策因素的长期增长效应得以保留。Alwyn Young(1998)是一个修改的质量阶梯模型，不仅有产品质量的改进，还内生化了产品种类的变化。市场规模扩大，使产品种类增加，每个中间产品垄断租金并没有提高，从而达到消除规模效应的目的。Peretto(1998)建立了一个人口增长与技术变化的模型，在这个模型中，并没有一个独立的R&D部门，相反，每个企业都在进行R&D活动，每个企业都生产和出售独特的产品。随着人口增长，市场规模扩大带来了利润的增加，而利润增加会吸引新的企业进入，新的企业也将研究和生产全新的产品。因此，人口增长只会使消费者福利增加，而没有使长期经济增长率得到提高，这样就消除了规模效应。Aghion and Howitt(1998)在Aghion and Howitt(1992)基础上引入了资本积累。资本可以用来生产消费品，也可以用来生产中间产品，R&D的投入不仅包括劳动，还可以包括资本。更多的创新通过提高资本的边际产品刺激资本积累，更多的资本积累也可以通过增加创新的利润促进创新。因此，资本积累和创新都影响长期增长，这与传统认为的资本积累只有水平效应明显不同。该模型也回答了Charles Jones(1995a)的批评，随着技术越来越复杂，R&D部门需要增加投入以维持稳定的创新。另外，人口的增加使研究不得不在更大的范围开展，因此，对R&D的递增投入可以与不变的长期经济增长率保持一致。Dinopoulos and Thompson(1998)与Young(1998)一样，也是一个包含产品质量提高和产品多样化的模型，由于引入新产品的成本不会随着产品种类的增加而下降，规模效应被消除了。与Young(1998)不同之处在于：Dinopoulos and Thompson(1998)中的企业是无限期界的，内生化的是创新的预期频率；Young(1998)中的企业只有两期，因而内生化的是质量创新的幅度。与Peretto(1998)一样，Dinopoulos and Thompson(1998)在模型中也引入了人口增长，但与Peretto(1998)的产业结构不同。
　　上述半内生模型(Charles Jones，1995b；Samuel Kortum，1997；Segerstrom，1998等)和内生模型(Alwyn Young，1998；Peretto，1998；Aghion and Howitt，1998；Dinopoulos and Thompson，1998等)都去除了规模效应，但政策含义显著不同。这两类模型哪一种更具有一般性呢？Li Chol-Won(2000)认为，一旦考虑到模型中质量改进与产品多样化这两个部门之间的技术扩散，半内生模型比内生模型更具有一般性。因为，内生模型需要两个“刀刃条件”同时满足才能保证长期经济增长的内生化。如果R&D的维度扩展到N个，那么将需要同时满足N个“刀刃条件”来实现内生增长，现在并不清楚是否存在某些机制使这些条件自动得到满足，因而Li Chol-Won更倾向于半内生模型。
　　五内生增长理论的进展方向
　　近来，一些文献对技术进步作了更深入的探讨，其中包括技术进步与人力资本积累的关系、技术变化的方向(Direction of Technical Change)、R&D的周期性、一般技术(GPT，General Purpose Technology)与专门技术的不同作用等。
　　在技术进步与人力资本积累相互作用的方向上，Huw Lloyd-Ellis and Joanne Roberts(2002)建立了一个人力资本积累和技术进步相互作用的双引擎增长模型。他们把知识分为3种不同的形式：技术部门的前沿知识(frontier knowledge)、通过教育和经验获取的内化于个人的知识(knowledge embodied in human)，以及教育系统中的公共知识(disembodied knowledge)。人力资本积累和技术进步分别由最大化收益的家庭和企业作出决策，工资分布变化是它们作用的一个桥梁。对技术的应用需要一定的人力资本，模型强调了技术与人力资本的动态互补性，因而它们是持续增长的双翼，缺少任何一个都不能维持长期增长。Stephen Kosempel(2004)提出了类似的技术进步与人力资本积累相结合的模型，人力资本积累都是内生决定的，但与Huw Lloyd-Ellis and Joanne Roberts(2002)不同的是，前者假定对R&D的投入为GDP的固定比例，具有一定的外生性质，且侧重于分析技术适应过程(Technology Adoption)。Acemoglu and Zilibotti(2001)用技术与劳动者技能(skill)的匹配质量来解释国家间的生产率差异。
　　由于大部分技术变化都不是中性的，不是有利于劳动力(Labor-Augmenting)就是有利于资本(Capital-Augmenting)，因此，研究技术变化方向成为内生增长理论的另一个进展方向。Daron Acemoglu(2002)在Paul Romer(1990)和Grossman and Helpman(1991)的产品多样化框架里，使R&D部门的企业能够自主选择利润最大化的技术进步方向。价格效应(Price Effect)和市场容量效应(Market Size Effect)决定了两类技术创新的相对获利能力，从而决定了均衡状态的技术进步方向。这两种效应的强弱则取决于生产要素之间的替代弹性的大小。Daron Acemoglu(2002)的模型能够解释很多现象，如为什么技术变化一般来说是劳动增进型的而不是资本增进型的。Daron Acemoglu(2003)在特定形式的技术可能性前沿(Innovation Possibilities Frontier)条件下，推导出均衡状态技术进步是纯粹劳动增进型的，资本增进型的技术进步发生在动态转型过程中。Charles Jones(2005)从另一个角度为劳动增进型技术变化提供了微观基础。他的理论模型表明，如果微观企业的创意(Idea)是Pareto分布形式，那么不仅总量生产函数将是Cobb-Douglas形式，长期中的技术变化方向也必将是劳动增进型。Acemoglu(2007)进一步讨论了技术进步的方向。国外还有学者研究企业组织与技术变化性质的关系(Garicano and Rossi-Hansberg，2006)。
　　随着经济增长理论的发展和大量实证文献的涌现，人们把越来越多的因素考虑进增长模型中，如制度、宗教、政策、技术扩散、经济周期、教育、收入不平等、外贸、FDI、国外援助等，它不仅用来解释一个国家时间序列的增长历史，也用来尝试解释国家之间的截面差异，增长模型与经济发展理论结合更加紧密，增长模型将变得更加多样化。
　　六结论
　　Paul Romer(1986)和Robert Lucas(1988)放弃外生技术的假定是对新古典增长理论的突破，也因此拉开了内生增长理论的序幕；从完全竞争到不完全竞争的内生增长模型的转变，是人们认识到仅仅用外部性来处理知识积累的回报是不够的，知识积累必须获得直接和明确的回报，这是通过在模型中设立利润最大化的R&D部门来解决的；Jones敏锐地发现了这类R&D模型中隐含的规模效应与现实相矛盾，对“Jones批判”的回答导致了“内生”和“半内生”的去除规模效应的理论模型。这两类模型的共同点是技术进步是由R&D活动内生决定的；不同点是“半内生”模型的均衡增长率由人口这一外生参数决定，政府政策因素也不再具有长期增长效应，“内生”模型中保留了政策因素的长期增长效应。这两类模型中哪一类更符合现实，还需要未来作进一步的检验。
　　随着内生增长理论的向前发展，一些文献从微观基础的角度研究技术进步，其中包括技术进步与人力资本积累的关系、技术变化的方向、R&D的周期性、一般技术与专门技术的不同作用等。这些都会对内生增长理论产生重要的促进作用。

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